En primer lugar, estoy al tanto de las preguntas sobre la topología de Zariski formuladas aquí y también estoy al tanto de la discusión en el Seminario secreto de blogging . Pero no pude encontrar una respuesta a una pregunta que me molestó desde mis primeros pasos en la geometría algebraica: ¿cómo puedo realmente motivar la topología de Zariski en un esquema?
Por ejemplo, en la geometría algebraica clásica sobre un campo algebraicamente cerrado puedo definir la topología de Zariski como la más gruesa $T_1$ -topología tal que todas las funciones polinómicas son continuas. Creo que esta es una gran definición cuando digo que estoy trabajando con polinomios y quiero convertir mi conjunto algebraico en un espacio local anillado. Pero ¿qué puedo decir en el caso general de un esquema afín?
Por supuesto, puedo decir que quiero tener un functor totalmente fiel de anillos a espacios anillados locales y esta construcción funciona, pero esto no es una motivación.
Por ejemplo, para el propio espectro primo, todas las motivaciones que he encontrado hasta ahora son las siguientes: bueno, sobre un campo algebraicamente cerrado podemos identificar los puntos con los ideales máximos, pero en general las imágenes inversas de los ideales máximos no son ideales máximos, así que tomemos simplemente los ideales primos y... vaya, que funciona. Pero ahora que sé que se obtiene el espectro primo a partir del funtor correspondiente (por supuesto, también se puede partir de un funtor) imponiendo una relación de equivalencia sobre puntos geométricos (¡que me parece muy geométrica!), por fin he encontrado una gran motivación para esto. Lo que queda es la topología de Zariski, y hasta ahora sólo he encontrado motivaciones extrañas similares a las anteriores...
