Encontrar el centro de dos vórtices que giran uno alrededor del otro de diferente intensidad

Question

Dos vórtices, de fuerzas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ están en los puntos $z = z_1$ y $z = z_2$ respectivamente en el plano complejo, donde son libres de moverse.

Así que tengo el complejo potencial

$$w(z)=\frac{-i\Gamma_1}{2\pi}\operatorname{log}(z-z_1)+\frac{-i\Gamma_2}{2\pi}\operatorname{log}(z-z_2)$$

Por lo tanto, ahora considero para $z_1(t)$ y $z_2(t)$ . En este caso, dejamos que las ubicaciones de los vórtices cambien en función del flujo que los rodea. Para simular esto ignoramos el flujo causado por el propio vórtice y encontramos esta ecuación diferencial.

Como $w'=u-iv$ donde $u$ y $v$ son los $x$ y $y$ partes de la velocidad del flujo. Y $\dot{z_i}=u+iv|_{z_i}$

$$\dot{z_i}=\operatorname{lim}_{z\rightarrow z_i}(w'(z)+\frac{i\Gamma_1}{2\pi(z-z_1)})$$

Al computar ambos y equiparar esto me lleva a concluir $\frac{\dot{z_1}}{\Gamma_2}=-\frac{\dot{z_2}}{\Gamma_1}$

También he demostrado que

$$a:=|z_1-z_2|$$ y $$Z:=\frac{\Gamma_1 z_1+\Gamma_2 z_2}{\Gamma_1+\Gamma_2}$$

Son constantes. Así que esto implica que los vórtices giran alrededor de cada uno. Sin embargo me cuesta mucho demostrar que el centro es Z y cómo encontrar la velocidad angular de este sistema. Si alguien pudiera ayudarme estaría muy agradecido.

Answer 1

El ODE que tienes se parece a $$\dot z_1=\frac{i\Gamma_2}{2\pi (z_2-z_1)},\quad \dot z_2=\frac{i\Gamma_2}{2\pi (z_1-z_2)}$$ Habiendo observado que $|z_1-z_2|=a$ es constante y la media ponderada $Z =\frac{\Gamma_1 z_1+\Gamma_2 z_2}{\Gamma_1+\Gamma_2}$ tampoco se mueve, ya casi has terminado. Lo que queda por observar:

1. Desde $\dot z_k$ es ortogonal a $z_k-Z$ para $k=1,2$ las distancias $|z_k-Z|$ son constantes en el tiempo. Así, cada $z_k$ se mueve en un círculo alrededor de $Z$ . El radio se encuentra fácilmente utilizando las proporciones: $|z_1-Z|=\dfrac{\Gamma_2}{\Gamma_1+\Gamma_2}$ y $|z_2-Z|=\dfrac{\Gamma_1}{\Gamma_1+\Gamma_2}$ .
2. La velocidad angular es $|\dot z_k|/|z_k-Z|$ . Por motivos geométricos, debería ser el mismo para ambos vórtices, y el álgebra lo confirma: $\dfrac{\Gamma_1+\Gamma_2}{2\pi a}$ .