Cómo encontrar el estimador de mayor probabilidad para

Question

$f\left( x\right) =\begin{cases}e^{-\left( x-\theta \right) }, x \ge \theta\\ 0\end{cases}$

Queremos encontrar el estimador para $\theta$ . Ya tengo la solución pero no la entiendo.

Primero escriben esto $ f(x;\theta) = e^{(\theta-x)} \cdot 1_{(x \ge 0)}$ No entiendo por qué y qué significa, así que me gustaría que me lo aclararan.

Luego encuentran la función de masa conjunta (no voy a entrar en detalles aquí porque sé lo que pasa sobre todo $f(x;\theta) = \exp \left\{ n\theta -\sum ^{n}_{i=1}x_{i}\right\} \cdot 1_{\left( x_{1}\ge 0\right) }$ . Ahora bien, ¿por qué es $x_1$ bajo la $1$ en lugar de $x_i$ ? ¿Por qué tomamos el valor más pequeño?

Luego proceden a decir que: "El estimador de máxima verosimilitud para $\theta$ es simplemente el valor de que maximiza esta función. Ahora bien, visto como una función de , es creciente hasta el punto = $x_{(1)}$ después de lo cual se convierte en 0. Así que es en este punto que se maximiza, lo que significa que $\widehat {\theta } = X_1$ "

No entiendo su declaración, ¿cómo es $\theta$ va a ser igual al valor más pequeño si $n$ está aumentando?

Answer 1

En primer lugar, su pregunta tiene una errata: $f(x,\theta)$ debe ser $\exp(\theta-x)1_{x\ge\theta}.$ La notación $1_{x_i\ge\theta}$ se lee como indicador de que $x_i>\theta.$ Significa lo siguiente: $$1_{x_i\ge\theta}=\begin{cases}1\hspace{2cm}\text{if }x_i\ge\theta \\0\hspace{2cm}\text{otherwise.}\end{cases}$$ Estudiemos ahora la distribución conjunta. Se sabe que la unión de variables aleatorias independientes es el producto de sus distribuciones. Entonces la unión es $$f(x_1,...,x_n;\theta)=\displaystyle\exp(n\theta-\sum_{i=1}^n x_i)\prod_{i=1}^n1_{x_i\ge\theta}.$$ Mira el producto $\prod_{i=1}^n1_{x_i\ge\theta}.$ Puede ser $1$ o $0.$ ¿Cuándo es $0?$ Siempre que alguno de los $x_i$ es menos de $\theta.$ Así que el producto es $1$ si y sólo si todos los $x_i$ son mayores que $\theta,$ es decir, si y sólo si $x_{(1)}=\min x_i\ge\theta.$

Ahora hemos respondido a la pregunta de cómo $x_{(1)}$ aparece. Ahora mira la probabilidad conjunta en función de $\theta.$ $\exp(n\theta)$ está aumentando. Si $\theta<x_{(1)},$ La función de probabilidad es positiva y creciente en $\theta,$ y si $\theta>x_{(1)},$ la probabilidad se convierte en cero. Para maximizar la probabilidad, tomamos $\theta=x_{(1)}.$