Sobre el teorema de Rim para módulos proyectivos sobre anillos de grupo

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito. Un teorema de Rim (Proposición 4.9 aquí ) establece que un $\mathbb{Z}G$ -Módulo $M$ es proyectiva si y sólo si $M$ es $\mathbb{Z}P$ -proyectiva para todos los subgrupos de Sylow $P$ de $G$ .

¿Qué (o qué tipo de) anillos podemos sustituir por $\mathbb{Z}$ anterior de manera que la afirmación siga siendo válida?

Answer 1

Esta cuestión radica en la noción de módulos cohomológicamente triviales es decir, los $G$ -módulos $M$ que tienen $\hat{H}^*(H,M)=0$ para todos los subgrupos $H\subseteq G$ . En particular, cualquier $kG$ -es cohomológicamente trivial y, por tanto, también lo es cualquier módulo proyectivo $kG$ -(anillo conmutativo arbitrario $k$ ).

$(\ast)$ Ahora bien, si $G$ es un $p$ -grupo y $k$ es un campo de característica $p$ , entonces a $kG$ -Módulo $M$ es proyectiva si $M$ es cohomológicamente trivial. Esta es una generalización consistente pero vacía del resultado de Rim.

Para un grupo general finito $G$ , $M$ es cohomológicamente trivial si su restricción a un subgrupo Sylow p $P$ es cohomológicamente trivial para todos los primos $p$ dividiendo $|G|$ . Tenga en cuenta que para un campo $k$ de la característica $p$ la cohomología desaparece para los grupos $H$ con $gcd(|H|,p)=1$ . Así que, a menos que esté siendo muy descuidado, podemos aplicar $(\ast)$ para obtener la extensión-resultado deseada para cualquier campo de característica $p$ .

Answer 2

Funciona para cualquier anillo en el que a lo sumo un primo no sea invertible (en particular, funciona para cualquier campo). En otras palabras, si existe un homomorfismo de anillo $\mathbb{Z}_{(p)} \rightarrow R$ para algún primo $p$ (donde $\mathbb{Z}_{(p)}$ es el anillo de $p$ -enteros locales), entonces $\mathbb{Z}$ puede sustituirse por $R$ en el teorema de Rim.

La razón es la siguiente: Dejemos que $H \leq G$ y considerar el functor de restricción $$\text{Res}_H^G: RG\text{-Mod} \rightarrow RH\text{-Mod}$$ y su adjunto izquierdo $$\text{Ind}_H^G: RH\text{-Mod} \rightarrow RG\text{-Mod} .$$ Entonces tenemos

Propuesta: Si $|G:H|$ es invertible en $R$ entonces el condominio de la adición $\text{Ind}_H^G \dashv \text{Res}_H^G$ tiene un inverso derecho.

Prueba. Dejemos que $E$ denotan el conjunto de cosets izquierdos de $H$ en $G$ . Para cada $RG$ -M, defina $$\alpha_M: M \rightarrow \text{Ind}_H^G\text{Res}_H^G(M) = RG \otimes_{RH} M$$ por $$\alpha_M(m) = \frac{1}{|G:H|}\sum_{gH \in E} g \otimes g^{-1}m$$ A partir de aquí es sencillo comprobar que $\alpha_M$ están bien definidos, $RG$ -lineal, natural en $M$ y la transformación natural resultante $\alpha$ es un inverso de la derecha del conditio $\varepsilon: \text{Ind}_H^G\text{Res}_H^G \rightarrow 1_{RG\text{-Mod}}$ .

Corolario: Si $|G:H|$ es invertible en $R$ , entonces un $RG$ -Módulo $M$ es proyectiva si y sólo si $\text{Res}_H^G(M)$ es proyectiva.

Prueba. Sólo si la dirección es clara. Si $\text{Res}_H^G(M)$ es proyectiva, también lo es el módulo inducido $\text{Ind}_H^G\text{Res}_H^G(M)$ que tiene un sumando directo isomorfo a $M$ por la proposición anterior. Por lo tanto, $M$ es proyectiva.

Ahora bien, si todos los primos que no sean $p$ es invertible en $R$ , dejemos que $H \in \text{Syl}_p(G)$ y aplicar el corolario anterior; obtenemos el análogo del teorema de Rim para $R$ .