Tengo un problema con el cálculo del siguiente límite.
Necesito encontrar: $\lim_{x \to 0^{+}} (\ln \frac{1}{x})^x$
Gracias de antemano
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Johannes
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Toma $f(x)=\ln^x(1/x)$ así que como @Eugene sugirió tomar $\ln$ de ambas partes, por lo que $$\ln(f(x))=x\ln(\ln(1/x))$$ o $$\ln(f(x))=\frac{\ln(\ln(1/x))}{1/x}$$ Ahora toma $1/x=t$ así que cuando $x$ tiende a $0^+$ ; $t$ tiende a $+\infty$ . Por la regla de L'Hospital tienes $\ln(f(x))\to 0$ así que $f(x)\to 1$ .
Oli
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Puede ser más fácil fijarse en los números grandes. Así que dejemos que $w=1/x$ . Estudiamos $(\ln w)^{1/w}$ . Tomemos el logaritmo de esto. Obtenemos $\dfrac{\ln(\ln w)}{w}$ .
Por la regla de L'Hospital, o de otra manera, esto se aproxima $0$ como $w\to\infty$ . Así que nuestro límite es $1$ .
Para el argumento de la regla de L'Hospital, diferenciando la parte superior y la inferior se obtiene $\dfrac{1}{w\ln w}$ , que claramente tiene límite $0$ .
