Significado del término "mezcla topológica"

Question

Entiendo que para que un sistema se comporte de forma caótica, debe ser "topológicamente mixto". Sin embargo, no estoy seguro de lo que significa realmente ese término.

Hay varias explicaciones al respecto en Internet. Sin embargo, no he encontrado una explicación para los profanos.

¿Qué significa el término "mezcla topológica"?

Answer 1

Supongo que has visto la definición:

Un sistema dinámico $f$ en $X$ se dice que mezcla topológica si para cada dos conjuntos abiertos $U$ y $V$ en $X$ , hay $N$ lo suficientemente grande como para que $f^n(U)\cap V\neq\emptyset$ para todos $n\geq N$ .

Esto significa que puedo elegir dos conjuntos abiertos cualesquiera, y luego iterar uno de ellos de manera que después de un cierto punto, su imagen interseca al otro en cada iteración. Para ver por qué esto no es trivial, observemos que podemos extender la definición para cualquier número finito de conjuntos abiertos: $U$ , $V_1,...,V_n$ . Puedo iterar $U$ por $f$ suficientes veces como para que su imagen acabe intersectando todos los conjuntos $V_1,...,V_n$ ¡simultáneamente! Incluso si el $V_i$ Los conjuntos están muy alejados entre sí. Esto con el fin de lograr esto, $f$ tiene que hacer $U$ muy grande, o estirar, doblar y retorcer $U$ para que su imagen acabe impregnando el espacio que habita.

Aquí hay algunas imágenes para ilustrar este comportamiento. Aquí están mis dos conjuntos $U$ y $V$ :

Ahora itero $U$ un montón de veces:

La imagen de $U$ bajo la iteración se vuelve salvaje, y cruza $V$ . Si este sistema es efectivamente topológicamente mixto, la imagen de $U$ seguirán cruzándose $V$ para todas las iteraciones posteriores.