Cómo probar este límite

Question

Si $\phi $ es un número irracional se cumple el siguiente límite

$$\lim_{n \to \infty } \left( \left( \sum_{k = 0}^{[n\phi ]} \frac{1}{[ k\phi^{-1}] + 2} \right) - \left( \sum_{k = 0}^n \frac{[k\phi ]}{( k + 1)( k + 2)} \right) \right) = \frac{1}{2} + \phi \tag 1$$

Aquí $[x]$ es la función suelo de Gauss. ¿Cómo podemos demostrar $(1)$ ? Gracias.

(Es sorprendente ya que no sigue siendo cierto si $ \phi $ es un número racional. Como sabemos, las funciones Polygamma definen una clase de límites de sumas armónicas. El siguiente límite puede considerarse una especie de generalización)

$$\lim_{n \to \infty } \left( \sum\limits_{k = 0}^{[n\phi ]} \frac{1}{\left[ k\phi^{-1} \right] + x} - \phi \ln n \right)$$

Answer 1

$\def\floor#1{\lfloor #1\rfloor} \def\ceil#1{\lceil #1\rceil}$ En realidad se trata de una pregunta sobre la manipulación de sumas, suelos y techos, y un libro que habla bien de estas cosas es "Concrete Mathematics".

Considere la primera suma $S$ : $$ S = \sum_{0\leq k\leq \lfloor n\phi\rfloor} \frac{1}{\lfloor k/\phi\rfloor+2}, $$ y eliminar la función suelo introduciendo una nueva variable $j$ , de manera que $j=\floor{k/\phi}$ siempre que $j\leq k/\phi<j+1$ (por definición de suelo): $$ \sum_{0\leq k\leq \floor{n\phi}} \sum_j \frac{1}{j+2}[\phi j\leq k<(j+1)\phi]. $$ La condición en el corchete de Iverson allí es equivalente a $$[\ceil{j\phi}\leq k<\ceil{(j+1)\phi}]. $$ Se trata de una gama de $k$ de longitud $\ceil{(j+1)\phi} - \ceil{j\phi}$ , y estos intervalos, para todo $0\leq j<n$ encajan completamente en $0\leq k\leq \floor{n\phi}$ y cubrirlo totalmente. Así que la suma es igual a $$ \sum_{0\leq j<n} \frac{\ceil{(j+1)\phi} - \ceil{j\phi}}{j+2}. $$ Esta suma se telescopia un poco, por lo que podemos cambiar $j$ por uno en el primer término para obtener $$ \frac{\ceil{n\phi}}{n+1} + \sum_{1\leq j<n} \frac{\ceil{j\phi}}{(j+1)(j+2)}. $$

Por último, todo el límite es $$ \frac{\ceil{n\phi}}{n+1} + \sum_{1\leq j<n} \frac{\ceil{j\phi}-\floor{j\phi}}{(j+1)(j+2)}. $$ Porque $\phi$ es irracional, el numerador de los sumandos es siempre $1$ y $$ \sum_{1\leq k<n} \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac12 - \frac1{1+n}. $$ Por lo tanto, la expresión en el límite es $$ \frac{\ceil{n\phi}}{n+1} + \frac12 + O(n^{-1}) = \phi+\frac12 + O(1/n), $$ por lo que el límite es $$ \frac12+\phi. $$