Precisión de la aproximación $\zeta(2)$ con una suma parcial

Question

Esto es para una clase de introducción al análisis numérico. La respuesta no debería ser demasiado complicada, pero si tienes una, no dudes en publicarla.

Averiguar qué $n$ debe ser tal que $$\sum_{k=n+1}^\infty {1\over k^2}<10^{-8}.$$

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Mi simple intento algebraico

Sabemos que

$$\sum_{k=1}^\infty {1\over k^2} = \sum_{k=1}^n {1\over k^2} + \sum_{k=n+1}^\infty {1 \over k^2} \implies \sum_{k=n+1}^\infty {1 \over k^2} = \sum_{k=1}^\infty {1\over k^2} - \sum_{k=1}^n {1\over k^2}$$

Y

$$\sum_{k=1}^\infty {1\over k^2} = \zeta(2)={\pi^2 \over6}$$

Así que,

$$\sum_{k=n+1}^\infty {1 \over k^2} = {\pi^2 \over6} - \sum_{k=1}^n {1\over k^2}$$

Entonces,

$$\sum_{k=n+1}^\infty {1 \over k^2} < 10^{-8} \implies {\pi^2 \over6} - \sum_{k=1}^n {1\over k^2} < 10^{-8} \implies \sum_{k=1}^n {1\over k^2} > {\pi^2 \over6} - 10^{-8}$$

Actualmente estoy intentando forzar una respuesta a la última expresión, pero ¿hay una forma mejor de hacerlo?

Answer 1

Desde $\displaystyle \frac{1}{k^2} < \frac{1}{(k-1)k } = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ podemos acotar su término mediante una suma telescópica: $$\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k^2} < \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)+\left(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right)+\left(\frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right) + \cdots = \frac{1}{n}$$ así que $n=10^8$ obras. La estimación que utilizamos no es demasiado débil, y esto $n$ no debería ser mucho peor que el mínimo $n.$

Answer 2

Una pista: $$\sum_{k=n+1}^\infty\frac1{k^2}\le\int_n^\infty\frac1{x^2}\mathrm{d}x=\frac1n$$

Answer 3

Una idea sencilla es sustituir el resto de la serie por la integral correspondiente: $$\sum_{k=N+1}^\infty \frac 1{k^2}\sim \int_{N+1}^\infty \frac {dk}{k^2}$$ o conseguir la desigualdad : $$\sum_{k=N+1}^\infty \frac 1{k^2}< \int_N^\infty \frac {dk}{k^2}=\frac 1N$$

Si desea más precisión puede utilizar Fórmula de Euler Maclaurin y obtener (para $x=2$ en su caso) : $$\zeta(x)-\sum_{k=1}^N \frac 1{k^x} \sim \frac 1{(x-1)N^{x-1}}-\frac 1{2\,N^x} + \frac x{12\,N^{x+1}} - \frac {x\,(x+1)(x+2)}{720\,N^{x+3}} +\frac {x\,(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}{30240\,N^{x+5}} +...$$ (las constantes $\ \frac 1{2},\ \frac 1{12},\ \frac 1{720}$ son $\frac {|B_n|}{n!}$ con $B_n$ a Número de Bernoulli )

Se trata de una expansión asintótica y el error cometido corresponde al primer término omitido.