Dejemos que $A$ ser un $n \times n$ matriz. El sistema lineal $Ax = 4x$ tiene una solución única si y sólo si $A − 4I$ es una matriz invertible. ¿Verdadero o falso?

Question

Esta es la única pregunta que no puedo resolver en la sección. La respuesta es Verdadero (según el libro de texto), pero no sé cómo empezar. Me he quedado atascado sin saber qué $Ax = 4x$ incluso significa, porque normalmente las preguntas y los ejemplos tienen $Ax = b$ , donde $b$ es una constante. Así que sería útil si alguien pudiera explicar que " $4x$ " para poder avanzar en la pregunta.

Gracias.

Answer 1

Si quieres ser un poco más específico, podemos reescribir la ecuación $Ax = 4x$ como

$$\underbrace{\begin{bmatrix} | & & | \\ v_1 & \dots & v_n \\ |&&|\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}}_{Ax} = 4\begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4x_1 \\ \vdots \\ 4x_n\end{bmatrix}.$$

He aquí una pista de por qué la pregunta es Verdadera:

Si $Ax = 4x$ tiene una solución única, entonces $(A - 4I)x = 0$ tiene una solución única. ¿Qué dice esto sobre el espacio nulo de $A-4I$ o el número de columnas pivotantes que $A-4I$ ¿tiene? ¿Cómo se relaciona eso con la invertibilidad de $A-4I$ ?

Answer 2

Así que desde $A\boldsymbol{x}=4\boldsymbol{x}=4I\boldsymbol{x}$ puedes tener $A\boldsymbol{x}-4I\boldsymbol{x}=(A-4I)\boldsymbol{x}=0$ Recuerda que $M=A-4I$ es una matriz tal que $M\boldsymbol{x}=0$ . Este es un caso especial su ejemplo $Ax=B$ . El sistema lineal $M\boldsymbol{x}=0$ tiene una solución única si $\det(M)\neq 0$ ， es decir, $A-4I$ es invertible.