Si tenemos una superficie implícita $g(x, y, z)=...$ el gradiente es un vector normal. ¿Pero por qué? ¿Tengo que empezar con los vectores tangentes y luego mostrar que el gradiente es perpendicular? No estoy seguro de cómo enfocar esto.
Fijar un punto $p$ en la superficie y tomar una curva $\gamma=\gamma(t)$ que se encuentra en la superficie y que atraviesa $p$ , digamos que $\gamma(0)=p$ . Esto implica $$ g(\gamma(t))=0 $$ para todos $t$ . Diferencie esta relación a lo largo de los términos.
Este argumento demuestra que $\nabla g(p)$ es ortogonal al vector velocidad $\dot{\gamma}(0)$ para todas las curvas de la superficie que pasan por $p$ . Por definición, el plano tangente a la superficie en $p$ es la que está compuesta por esos vectores. Por lo tanto, $\nabla g(p)$ es ortogonal al plano tangente.
La única duda que siempre tengo en esta demostración: ¿cuál es la forma más sencilla de demostrar que el conjunto de todos los vectores tangentes al "punto bueno" es un hiperplano? :)
Gracias. No entendía muy bien la parte entre la diferenciación por términos y mostrar la ortogonalidad, pero esta respuesta me ayudó a encontrar el siguiente enlace que tenía una versión más verbosa. ocw.mit.edu/cursos/matemáticas/
@Evgeny: Así es como me gusta verlo. Aplicando una isometría de $\mathbb R^3$ que puedes hacer para que la superficie se dé localmente como una gráfica: $z=f(x, y)$ (con $p\equiv (0,0,0)$ ). El conjunto de vectores tangentes a $(0,0,0)$ está contenido en el hiperplano $z=0$ y coincide con ella porque contiene las velocidades a las curvas $\gamma_x(t)=(t, 0, f(t, 0))$ et $\gamma_y(t)=(0, t, f(0, t))$ .
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