¿Por qué el gradiente de la superficie implícita es el vector normal (es decir, paralelo a la línea normal)?

Question

Si tenemos una superficie implícita $g(x, y, z)=...$ el gradiente es un vector normal. ¿Pero por qué? ¿Tengo que empezar con los vectores tangentes y luego mostrar que el gradiente es perpendicular? No estoy seguro de cómo enfocar esto.

Answer 1

Fijar un punto $p$ en la superficie y tomar una curva $\gamma=\gamma(t)$ que se encuentra en la superficie y que atraviesa $p$ , digamos que $\gamma(0)=p$ . Esto implica $$g(\gamma(t))=0$$ para todos $t$ . Diferencie esta relación a lo largo de los términos.

Este argumento demuestra que $\nabla g(p)$ es ortogonal al vector velocidad $\dot{\gamma}(0)$ para todas las curvas de la superficie que pasan por $p$ . Por definición, el plano tangente a la superficie en $p$ es la que está compuesta por esos vectores. Por lo tanto, $\nabla g(p)$ es ortogonal al plano tangente.