Calculando $\mathbf{P}[X < Y]$ para $X, Y$ ¿distribuido exponencialmente?

Question

Este es el ejercicio 2.2.1 de Achim Klenke: "Teoría de la probabilidad - Un curso completo"

Dejemos que $X$ y $Y$ sean variables aleatorias independientes con $X \sim \exp_\theta$ y $Y \sim \exp_\rho$ para ciertos $\theta,\rho > 0$ . Demostrar que $$\mathbf{P}[X < Y] = \frac{\theta}{\theta +\rho}\, .$$

Ahora, en la práctica, este ejercicio es fácil. $\exp_\theta$ -se define como $$ \mathbf{P}[X \leq x] = \int_0^x \theta e^{-\theta t} \, dt \quad \text{ for } x \geq 0\, .$$

Sólo tenemos que evaluar la integral: $$\int_0^\infty \mathbf{P}[X \leq x] \cdot \rho e^{-\rho x} \, d x = \int_0^\infty \Bigl(\int_0^x \theta e^{- \theta t} \, d t \Bigr) \cdot \rho e^{-\rho x} \, d x\, ,$$

que da $\frac{\theta}{\theta +\rho}$ .

Pero, ¿cómo hacerlo con rigor?

Por qué es posible lo siguiente: $$\mathbf{P}[X < Y] = \int_0^\infty \mathbf{P}[X \leq x]\cdot \mathbf{P}[Y = x] \, d x \\ \text{ and using } \mathbf{P}[Y = x] = \rho e^{-\rho x} \, ?$$

La convolución de variables aleatorias de valor real aún no se ha definido.

Answer 1

La respuesta más cercana a este ejercicio que he encontrado, que se ajusta al contexto, es suponer que ya conocemos, en el momento del ejercicio, la teoría de Lebesgue.

Entonces, como se dijo antes del ejercicio del libro, ya sabemos que la distribución conjunta de dos variables aleatorias independientes $X$ y $Y$ con densidades $f_X$ y $f_Y$ se define por

$$\begin{align}\Pr[X\le x, Y\le y]&=F_{XY}(x,y)\\&=\int_0^x\int_0^y f_X(t)f_Y(s)\, ds\, dt\\&=\int_{[0,x]\times[0,y]}f_X(t)f_Y(s)\, d(s,t)\end{align}\tag1$$

Por lo tanto, porque $\Pr$ es una medida de $(1)$ tenemos que

$$\Pr[(X,Y)\in A]=\int_A f_X(t)f_Y(s) d(t,s),\quad A\in\mathcal L([0,\infty)^2)\tag2$$

Por lo tanto, la elección de $A:=\{(x,y)\in [0,\infty)^2: x<y\}$ encontramos que

$$\begin{align}\Pr[(X,Y)\in A]&=\int_0^\infty\int_0^t f_X(s)f_Y(t)\,ds\, dt\\ &=\int_0^\infty F_X(t) f_Y(t)\, dt\\&=\int_0^\infty(1-e^{-\theta t})\rho e^{-\rho t}dt\\ &=1-\rho\int_0^\infty e^{-(\theta+\rho)t}dt\\&=1-\frac{\rho}{\rho+\theta}=\frac{\theta}{\theta+\rho}\end{align}\tag3$$

Sin embargo no encontré una respuesta que se ajustara bien a la teoría del libro cuando se presentó este ejercicio. Probablemente alguna variación de este razonamiento podría justificarse en el contexto en el que aparece el ejercicio.