Dejemos que $S$ sea un conjunto ordenado. Sea $A$ subconjunto de $B$ sea un subconjunto no vacío que esté acotado por encima.

Question

Dejemos que $S$ sea un conjunto ordenado. Sea $A \subset S$ sea un subconjunto no vacío que esté acotado por encima. Supongamos que $\sup A$ existe y $\sup A$ no está en $A$ . Demostrar que $A$ contiene un subconjunto contablemente infinito. En particular, $A$ es infinito.

Dejemos que $x_0 A $

entonces $x_0$ no es igual a $\sup(A)$ desde $x_0 A$

Entonces, por definición de $\sup (A)$ tiene que haber otro elemento $x_1 A$ tal que $x_1 > x_0 $

No entiendo por qué tiene que haber otro elemento $x_1$

Conozco la definición de $ \sup (A)$ .

$\sup (A)$ es mayor o igual que todos los elementos de $A$ .

Pero en el problema $\sup A$ no está en $A$ . De ello puedo concluir $x_0 < \sup A$

Mi pregunta es: ¿Por qué tiene que haber otro elemento?

Answer 1

De lo contrario, $\forall x \in A$ , $x \leq x_0$ entonces $x_0$ es el límite superior de $A$ , dejemos que $y$ otro límite superior de $A$ entonces $y \geq x_0$ entonces $x_0$ es el límite superior más pequeño, por lo que $x_0 = sup(A)$ .

Answer 2

Dejemos que $x_0 \in A \subset S$ . Supongamos que no existe otro $x_1 \in A$ tal que $x_1 > x_0$ . Esto implica que $x_0$ es un límite superior de $A$

$$\forall x \in A \implies x < x_0$$

Porque $S$ se ordena tenemos que $A$ se ordena y entonces podemos tener la implicación anterior. Ahora bien, este es el menor límite superior posible. Si hay otro límite superior, digamos $u$ Debemos tener $u \geq x_0$ porque si es tal que $u < x_0$ entonces, por definición, $u$ es no un límite superior, porque $x_0 \in A$ . El límite superior debe ser mayor (o igual) que todos los números del conjunto . Así, con esto, obtenemos que $x_0$ es el supremum.

Pero esto no es posible porque el supremum no puede ser un elemento de $A$ por lo que debe existir $x_1$ . Porque $x_0$ era arbitrario debemos tener que $A$ es infinito.

Fíjate que utilizas dos argumentos absurdos: Si no existe y el elemento rallador obtengo un límite superior, usando el argumento absurdo este debe ser supremum, usando el argumento absurdo esto es imposible. Intento que quede claro. Comentario para EDIT's tal que se pueda entender.

Answer 3

Es importante, $\sup{A}$ es el menos límite superior de $A$ . Si no hay un miembro de $A$ más grande que $x_0$ entonces $x_0$ es a su vez un límite superior de $A$ - eso es lo que significa "límite superior". Ya que $\sup{A}$ es el menos límite superior, debe ser que $\sup{A} \leq x_0$ . Pero $\sup{A}$ es ciertamente un límite superior, por lo que $x_0 \leq \sup{A}$ . Así que tendríamos $x_0 = \sup{A}$ y como $x_0 \in A$ tendríamos $\sup{A} \in A$ . Como no puede ser el caso, debe ser que hay es un miembro de $A$ más grande que $x_0$ .