Por qué $x \le (1+\frac {\ln(x)} {\ln(2)})^{\pi(x)}$ implica $\pi(x)\ge \frac {\ln(x)} {2\ln\ln(x)}$ para $x \ge 8$ ?

Question

Dejemos que $\pi(x) = |\{ p \le x : p \in P\}|$ denotan la función de recuento de primos $\pi:\mathbb R \rightarrow \mathbb N$ y $P$ el conjunto de los primos.

La igualdad $$x \le \left\lfloor \prod_{p_i\le x} 1+\frac {\ln(x)} {\ln(p_i)} \right\rfloor \le \left(1+\frac {\ln(x)} {\ln(2)}\right)^{\pi(x)}$$

se afirma que es cierto.

De ello se desprende inmediatamente que para todos los $x \ge 8:$ $$\pi(x)\ge \frac {\ln(x)} {2\ln\ln(x)}$$

Sin embargo, ¿alguien puede explicar por qué esta última desigualdad se deduce de la desigualdad anterior?

Answer 1

No hay ningún número de tesis involucrado en la prueba:

Usted tiene $$\left( 1+\frac{\ln x}{\ln 2} \right)^{\pi(x)}\geq x$$ Entonces, como $\ln$ está aumentando, $$\begin{align} \pi(x)\ln(1+\log_2 x)&\geq\ln x\\ \pi(x)&\geq\frac{\ln x}{\ln(1+\log_2 x)} \end{align}$$ por lo que está hecho si muestra que $\ln(1+\log_2 x)\leq2\ln\ln x$ Es decir, $1+\log_2 x\leq(\ln x)^2$ .

Definir $f(t)=\left(t-\frac1t\right)\ln 2$ . Diferenciando se ve fácilmente que $f$ es creciente y con una calculadora se puede comprobar que $f(\ln 8)>1$ . Así, para $x\geq 8$ tienes $$\left(\ln x-\frac1{\ln x}\right)\ln 2=\left(\frac{(\ln x)^2-1}{\ln x}\right)\ln 2\geq 1$$ por lo tanto, $$(\ln x)^2-1\geq \log_2 x$$