Demostrar la convergencia de una secuencia en una desigualdad diciendo "porque la desigualdad es grande"

Question

Actualmente estoy haciendo un curso de optimización en el que tenemos un capítulo sobre topología, sin experiencia previa en ella (no es un requisito previo). En general, entiendo la apertura, el cierre y la limitación de los conjuntos. Con respecto a la clausura, entiendo que si el límite de una secuencia originalmente en el conjunto está todavía en el conjunto, entonces el conjunto es cerrado.

Nuestro profesor ha dado ejemplos sencillos como un conjunto donde x>2, y si tomas la secuencia x=2+1/n con el límite a medida que n se acerca al infinito, no se encuentra en el conjunto (ya que converge a 2), por lo que el conjunto no es cerrado. Pero cuando llegamos a conjuntos que implican polinomios, el profesor simplemente dice "como la desigualdad es grande, podemos pasar al límite" y zas, las secuencias convergen todas y la desigualdad sigue siendo cierta (ver problema anterior).

Algunos amigos que han hecho cursos de topología dicen que esto es una "prueba a medias" (lo que a mí me parece muy bien), pero nuestro profesor no nos ha enseñado ninguna otra forma de hacerlo y no responde a nuestras preguntas al respecto (se limita a decir "¿no es obvio?"). Esto es bastante peligroso para mí, conceptualmente, ya que si asumo que la desigualdad siempre se mantendrá al tomar el límite, definitivamente no será siempre el caso.

Teniendo en cuenta mi muy simple comprensión de la convergencia y el cierre (que es todo lo que él espera que sepamos), ¿qué significa realmente "porque la desigualdad es grande"? Cualquier ayuda sería fenomenal

Answer 1

¿qué significa realmente "porque la desigualdad es grande"?

Esta es una forma corta de expresar el clásico (asumo que, aunque la topología no es un prerrequisito para su curso, el Cálculo sí lo es) teorema del Cálculo:

Supongamos que $x_n$ satisface $x_n\leqslant M$ para cualquier $n$ lo suficientemente grande, y que $x_n$ converge a $\ell$ . Entonces $\ell\leqslant M$ .

Esto se suele demostrar utilizando $\epsilon-\delta$ definición de los límites. Es posible que estés más familiarizado con una versión sobre funciones:

Supongamos que $f(x)$ satisface $f(x)\leqslant M$ para cualquier $x$ cerca de un punto $a$ y que $\ell=\lim_{x\to a} f(x)$ existe. Entonces $\ell\leqslant M$ .

Puede cambiar la gran desigualdad $\leqslant$ a $\geqslant$ para obtener

Supongamos que $x_n$ satisface $x_n\geqslant M$ para cualquier $n$ lo suficientemente grande, y que $x_n$ converge a $\ell$ . Entonces $\ell\geqslant M$ .

Pero no puedes cambiar $\leqslant$ a $<$ ya que el teorema sería falso. En efecto, $x_n=2-\frac{1}{n}<2$ para cualquier $n\geqslant 1$ pero $\ell=\lim_{n\to\infty}x_n=2$ .

Se pueden generalizar los resultados anteriores utilizando la terminología de la topología: si $A$ es un subconjunto de $\mathbb R^n$ denotamos por $\overline{A}$ el cierre de $A$ . Entonces,

si $x_n$ está en $A$ para $n$ suficientemente grande y converge a $\ell$ entonces $\ell=\lim_{n\to\infty}x_n$ está en $\overline{A}$ .

Como sabemos que $A=(-\infty,3]$ está cerrado, tenemos $\overline{A}=A=(-\infty,3]$ .

Nota : " $x_n$ satisface la propiedad $P$ para cualquier $n$ suficientemente grande" es un a medias terminología que significa "existe $n_0$ tal que $x_n$ satisface $P$ para cualquier $n\geqslant n_0$ ".

Answer 2

Suspiro. ¿Por qué es tan popular el tedio secuencial?
Has demostrado que K es el disco cerrado
(bola) centrada en (1,1) con un radio de 5.
Eso es suficiente.