Cuantiles en distribuciones de mezcla - explicación matemática

Question

En R, he creado una distribución de mezcla a través de una combinación convexa de una distribución normal estándar, y una distribución normal con media -3, varianza 1 (es decir, restando 3 de una distribución normal estándar).

Al hacerlo, he observado que la diferencia entre los valores absolutos de los cuantiles superiores (por ejemplo, el 95%) de la distribución de la mezcla y una distribución normal estándar son menores que la misma diferencia en los cuantiles inferiores (por ejemplo, el 5%).

Tengo una aplicación para este resultado en economía, pero aparte de mirar los gráficos de las distribuciones y usar la intuición, no tengo forma de explicar por qué es así. ¿Alguien puede ofrecer una explicación de por qué observo este resultado matemáticamente?

Además, ¿es este un resultado que se mantiene en general cuando se forma una distribución mixta mediante una combinación convexa de una distribución normal estándar y una distribución normal con media inferior?

Answer 1

Si usted tiene una mezcla de localización (mezcla de versiones desplazadas de la misma distribución) con una cola ligera, y la proporción del componente más a la derecha no es demasiado pequeña, entonces la cola superior de la mezcla procederá en su mayor parte de la cola superior de ese componente.

Considere el caso simple de dos densidades normales con igual peso, que están bien separadas (como su $\mu_1=-3,\mu_2=0,\sigma=1$ ). Entonces el percentil 95 de la mezcla estará muy cerca del percentil 90 del componente superior (es decir, cerca de 1,28155).

Del mismo modo, si se tratara de una mezcla del 75%-25% de (-3,1) y (0,1), el percentil 95 de la mezcla se aproximaría a un percentil 1-,05/0,25 = 0,8 del componente superior.

En el baja cola será impulsada principalmente por el componente más a la izquierda, no por el más a la derecha.