La cobertura universal es holomórficamente isomorfa al plano complejo

Question

Me disculpo por la vaguedad de esta pregunta:

¿Cómo se puede demostrar que una superficie de Riemann $(X,g),$ dotado de una métrica riemanniana $g,$ es conformemente equivalente al plano complejo? (es decir, ¿existe un programa estándar para demostrar tal resultado?)

Heurísticamente, supongo que habría que demostrar que es una superficie de Riemann de género uno. El Teorema de la Uniformización implicaría entonces que la cubierta universal de la superficie de Riemann es el plano complejo.

Answer 1

Una superficie de Riemann simplemente conectada no es de género 1 y, en general, no es conforme al plano complejo. Como se observa, esto sólo es cierto si la superficie es de género 1.