Clasificación de un conjunto abierto en real

Question

Demostrar que el conjunto abierto en la recta real puede representarse como la unión disjunta más contable de intervalos abiertos.

Sé que esta pregunta se ha repetido muchas veces en MSE, pero permítanme hacer la siguiente pregunta. He encontrado en Internet la siguiente prueba agradable, pero un momento me parece extraño:

Dejemos que $U \subseteq R$ sea abierto y deje que $x \in U$ . O bien $x$ es racional o irracional. Si $x$ es racional, defina \begin{align}I_x = \bigcup\limits_{\substack{I\text{ an open interval} \\ x~\in~I~\subseteq~U}} I,\end{align} que, como unión de intervalos abiertos no disjuntos (cada uno $I$ contiene $x$ ), es un subconjunto de intervalos abiertos a $U$ . Si $x$ es irracional, por la apertura de $U$ hay $\varepsilon > 0$ tal que $(x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq U$ , y existe un racional $y \in (x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq I_y$ (según la definición de $I_y$ ). Por lo tanto, $x \in I_y$ . Así que cualquier $x \in U$ está en $I_q$ para algunos $q \in U \cap \mathbb{Q}$ y así \begin{align}U \subseteq \bigcup\limits_{q~\in~U \cap~\mathbb{Q}} I_q.\end{align} Pero $I_q \subseteq U$ para cada $q \in U \cap \mathbb{Q}$ por lo tanto \begin{align}U = \bigcup\limits_{q~\in~U \cap~\mathbb{Q}} I_q, \end{align} que es una unión contable de intervalos abiertos.

Mi pregunta es la siguiente: ¿Cómo demostrar que estos $I_q$ son disjuntos. Supongamos que $x\in I_p\cap I_q$ ? ¿Cómo demostrar que $I_p\cup I_q\subset I_p$ y $\subset I_q$ ?

Answer 1

Aquí hay un argumento bastante detallado.

Supongamos que $x,y\in U\cap\Bbb Q$ y $I_x\cap I_y\ne\varnothing$ . Desde $I_x\cap I_y\ne\varnothing$ Hay un $z\in I_x\cap I_y$ . Según la definición de $I_x$ hay un intervalo abierto $J_0$ tal que $x\in J_0\subseteq U$ y $z\in J_0$ . Del mismo modo, según la definición de $I_y$ hay un intervalo abierto $J_1$ tal que $y\in J_1\subseteq I$ y $z\in J_1$ . Sea $J_2=J_0\cup J_1$ ya que los intervalos abiertos $J_0$ y $J_1$ tienen el punto $z$ en común, $J_2$ es un intervalo abierto, y $x,y\in J_2\subseteq U$ .

Ahora dejemos que $u\in I_x$ sea arbitraria; basta con que haya un intervalo abierto $J_3$ tal que $x\in J_3\subseteq U$ y $u\in J_3$ . Sea $J=J_2\cup J_3$ los intervalos abiertos $J_2$ y $J_3$ tienen el punto $x$ en común, así que $J$ es un intervalo abierto, y claramente $y\in J\subseteq U$ Así que $J\subseteq I_y$ . Así, $u\in J\subseteq I_y$ y como $u$ era un punto arbitrario de $I_x$ Hemos demostrado que $I_x\subseteq I_y$ .

Exactamente el mismo argumento con los roles de $x$ y $y$ invertido muestra que $I_y\subseteq I_x$ Así que $I_x=I_y$ . En otras palabras, para cualquier $x,y\in U\cap\Bbb Q$ , ya sea $I_x$ y $I_y$ son disjuntos, o son idénticos.