Probar un límite de una función utilizando la definición

Question

Si g y h están definidos en una vecindad de c y $\lim_{x\to c} g(x)$ = $\lim_{x\to c} h(x)$ = L, y definimos f por

$f(x) = \begin{cases} h(x), & \text{if $x$ Q } \\ g(x), & \text{if $x$ Q} \end{cases}$

Demostrar que $\lim_{x\to c} f(x)$ = L.

Sé que debería utilizar la definición de límite aquí, pero no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

Dejemos que $\varepsilon > 0$ entonces como el límite existe para $g$ y $h$ tenemos un $\delta_{g, \varepsilon}$ de manera que si $$|x-c| < \delta_{g, \varepsilon} \quad\Rightarrow\quad |g(x) - L| < \varepsilon$$ Y un $\delta_{h,\varepsilon}$ de manera que si $$|x-c| < \delta_{h,\varepsilon} \quad \Rightarrow \quad|h(x) - L| < \varepsilon$$

Ahora toma $\delta_{\varepsilon} = min \{ \delta_{g, \varepsilon}, \delta_{h,\varepsilon} \}$ Afirmo que este $\delta_{\varepsilon}$ funciona, ¿por qué?, porque si $|x-c| < \delta_{\varepsilon}$ entonces tenemos dos opciones $x \in \mathbb{Q}$ o no, si ocurre lo primero, es decir, si $x \in \mathbb{Q}$ entonces $$|f(x) - L| = |h(x) - L| < \varepsilon$$ y si $x \not\in \mathbb{Q}$ , $$|f(x) - L| = |g(x) - L| < \varepsilon $$