Variedad tórica correspondiente para n-simplex

Question

Dejemos que $P $ sea un politopo de Delzant y $X_P $ sea una variedad tórica correspondiente. Quiero ver si $P=\sum $ sea un n-simplex entonces $X_P=\mathbb P^n$

Answer 1

(Estoy respondiendo desde la perspectiva algebro-geométrica; estaría bien ver respuestas de personas con una mentalidad más simpática)

Debes haber querido decir el politopo $\Delta_n:=\{ (x_1, \ldots, x_n) \mid \sum x_i \leq 1, x_i \geq 0 \}$ porque la variedad tórica correspondiente a un politopo reticular en el $n$ -carácter dimensional es proyectiva si y sólo si el politopo es $n$ -dimensional.

Construir una variedad tórica asociada a un politopo en la red $M_R$ dual a la red de caracteres se construye un abanico normal en $N_R$ . La variedad tórica se pega entonces a partir de anillos de semigrupos de semigrupos de puntos que yacen en conos duales. Por lo tanto, para calcular los generadores de estos semigrupos basta con mirar todos los vértices y escribir los vectores que abarcan el ángulo (traducido al origen). En el caso de $\Delta_n$ las variedades tóricas afines son isomorfas a $\mathbb{A}^n$ con coordenadas $$ (x_1, \ldots, x_n), (x_1^{-1}, x^{-1}x_2, \ldots, x^{-1}x_n), \ldots, (x_n^{-1}x_1, x_n^{-1}x_2, \ldots, x_n^{-1}) $$ Se pegan a lo largo de $\mathbb{A}^n \setminus \mathbb{A}^{n-1}$ -s para formar $\mathbb{P}^n$ .