La solución de la desigualdad $x^2 > b^2$ , donde $b < 0$ es:

Question

Tratando de aprender matemáticas como adulto y actualmente trabajando en un libro de texto de secundaria. Hasta ahora, el método que me han enseñado para resolver las desigualdades cuadráticas ha sido graficarlas y luego leer los valores de la gráfica.

Hasta ahora, lo he hecho: Dejemos que $x^2 = b^2.$ Entonces

$$x^2 - b^2 = 0 \Rightarrow (x+b)(x-b) = 0,$$ así que $x = \pm b$ .

La cuadrática cruza el $x$ eje en $-b$ y $b$ . Pero me quedo atascado al intentar graficar esto. ¡He pasado mucho tiempo en él y debo estar perdiendo algo obvio!

Answer 1

$$x^2>b^2\iff (x+b)(x-b)>0$$

$$\iff \Bigl((x+b)<0 \wedge (x-b)<0\Bigr) \vee \Bigl( (x-b)>0\wedge (x+b)>0\Bigr)$$ $$\iff x<b \;\text{ or } \;x>-b$$

$$\iff x\in(-\infty,b)\cup(-b,+\infty)$$ $$\iff x\in(-\infty,-|b|)\cup (|b|,+\infty)$$

Answer 2

" Hasta ahora, el método que se ha enseñado para resolver inecuaciones cuadráticas ha sido graficarlo y luego leer los valores de la gráfica."

Así que ... los valores son $-b$ y $b$ . (No se confunda y piense que $\pm b$ como se escribe con un símbolo es un valor único).

También $b < 0$ así que $-b > 0$ y así el $b < 0 < -b$ así que no se confunda y asuma $b$ es positivo y $-b$ es negativo. Es todo lo contrario.

(Si quieres puedes sustituir $b$ con $-|b|$ y $-b$ con $|b|$ .

Así que toma un $x < b < 0$ entonces $x^2 > b^2$ así que grafica esa parte.

Entonces toma $b < x < -b$ . Podrías tomar $x = 0$ para facilitarlo. $0^2 < b^2$ así que no grafiques esta parte. Y luego si $0 < -b < x$ entonces $b^2 < x^2$ así que grafica esta parte.

.....

Sí, lo admito. $-b$ ser positivo también me desconcierta.

Así que dejemos $a = -b$ así que $a > 0$ .

Entonces $x^2 = b^2 =(-a)^2 = a^2$ y

$x^2-a^2 = (x-a)(x+a)=0$ y los puntos son $\pm a$ . Si $x < -a < 0$ entonces $0 < a < -x$ y $a^2 < (-x)^2 =x^2$ .

Y si $-a < x < a$ entonces $|x| < a$ y $x^2 < a^2$ .

Y si $0 < a < x$ entonces $a^2 < x^2$ .