versión algebraica y descomposición polar

Question

He estado pensando en la descomposición polar de $C^*$ -algebras. No he podido encontrar una referencia adecuada donde se diga: Sea $A$ ser un $C^*$ -y el álgebra, y $b$ un elemento invertible de $A$ con módulo $\lvert b\rvert$ . ¿Por qué es cierto que $b$ es igual a $w\lvert b\rvert$ para alguna unidad $w$ ? ¿Existe alguna versión algebraica de la descomposición polar que tenemos para $C^*$ -¿algebras? Por "versión algebraica" quiero decir que sólo tenemos anillos con involución, pero sin norma.

Answer 1

Dejemos que $w=b|b|^{-1}$ . Es evidente entonces que $w^*w=1$ y, como $w$ es invertible, esto implica que $w^*=w^{-1}$ Así que $w$ es unitario. También está claro que $b=w|b|$ .

¿Qué tan algebraico es este argumento? En un *álgebra no se tiene necesariamente la noción de valor absoluto, pero supongamos supongamos que para su $b$ se puede encontrar un elemento autoadjunto, llamado $|b|$ que satisface $|b|^2=b^*b$ . Entonces $|b|$ es necesariamente invertible y el argumento anterior se aplica, siempre que su unitario deseado $w$ .