Cómo proceder desde $\cot(x)\cot(2x)-\cot(2x)\cot(3x)-\cot(3x)\cot(x) = 1$

Question

Para probar: $\cot(x)\cot(2x)-\cot(2x)\cot(3x)-\cot(3x)\cot(x) = 1$

Mi intento de solución: \begin{gather}\frac{\cos(x)\cos(2x)}{\sin(x)\sin(2x)}-\frac{\cos(2x)\cos(3x)}{\sin(2x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}\\\\ \frac{\cos(x)\cos(2x)\sin(3x)-\cos(2x)\cos(3x)\sin(x)}{\sin(x)\sin(2x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}\\\\ \frac{ \cos(2x)[ \cos(x)\sin(3x)-\cos(3x)\sin(x)]}{\sin(x)\sin(2x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}\\\\ \frac{\cos(2x)[\sin(4x)\sin(2x)-\cos(3x)\sin(x)]}{\sin(x)\sin(2x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}\\\\ \frac{\cos(2x)[2\sin(4x)\sin(2x)]}{\sin(x)\sin(2x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}\\\\ \frac{2\cos(2x)\sin(4x)}{\sin(x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}\\\\ \frac{2\cos(2x)\sin(4x)}{\sin(x)\sin(3x)}-\frac{\cos(4x)\cos(2x)}{2\sin(3x)\sin(x)}\end{gather}

El problema es que no sé a dónde ir desde aquí (y debido a tantos cálculos involucrados, tampoco estoy seguro del resultado anterior).

Además, si ves una manera más elegante de resolver esto, por favor proporciona una pista (no la solución completa).

Answer 1

Ve despacio: \begin{align} \cot x\cot2x-\cot2x\cot3x &= \cot2x\left(\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\cos3x}{\sin3x}\right)\\[6px] &=\frac{\cos2x}{\sin2x}\frac{\sin3x\cos x-\cos3x\sin x}{\sin x\sin 3x} \\[6px] &=\frac{\cos2x}{\sin2x}\frac{\sin2x}{\sin x\sin 3x}\\[6px] &=\frac{\cos2x}{\sin x\sin 3x} \end{align} Así que quieres calcular $$ \frac{\cos2x}{\sin x\sin 3x}-\frac{\cos3x}{\sin3x}\frac{\cos x}{\sin x} =\frac{\cos2x-\cos3x\cos x}{\sin x\sin3x} $$ Ahora $$ \cos2x=\cos(3x-x)=\cos3x\cos x+\sin3x\sin x $$ y ya está.

Answer 2

Aquí están sus trabajos hasta la línea que consideré que ocurría un problema: $$\frac{\cos(x)\cos(2x)}{\sin(x)\sin(2x)}-\frac{\cos(2x)\cos(3x)}{\sin(2x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}$$

$$\frac{\cos(x)\cos(2x)\sin(3x)-\cos(2x)\cos(3x)\sin(x)}{\sin(x)\sin(2x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}$$

$$\frac{ \cos(2x)[ \cos(x)\sin(3x)-\cos(3x)\sin(x)]}{\sin(x)\sin(2x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}$$

Esta línea me parece incorrecta. $$\frac{\cos(2x)[\sin(4x)\sin(2x)-\cos(3x)\sin(x)]}{\sin(x)\sin(2x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}$$

Utilizando $\sin(2x) = \sin(3x -x) = \sin(3x)\cos(x) - \sin(x)\cos(3x)$ , Debe ser $$\frac{\cos(2x)\sin(2x)}{\sin(x)\sin(2x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}$$

Entonces cancle $sin2x$ $$\frac{\cos(2x)}{\sin(x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}$$

Una fusión más: $$\frac{\cos(2x) - \cos(3x)\cos(x)}{\sin(x)\sin(3x)}$$

Utilizando $\cos(2x) = \cos(3x -x) = \cos(3x)\cos(x) + \sin(3x)\sin(x)$ , el último se convierte en $$\frac{\sin(3x)\sin(x)}{\sin(3x)\sin(x)} = 1$$