Cómo proceder desde $\cot(x)\cot(2x)-\cot(2x)\cot(3x)-\cot(3x)\cot(x) = 1$

Question

Para probar: $\cot(x)\cot(2x)-\cot(2x)\cot(3x)-\cot(3x)\cot(x) = 1$

Mi intento de solución: \begin{gather}\frac{\cos(x)\cos(2x)}{\sin(x)\sin(2x)}-\frac{\cos(2x)\cos(3x)}{\sin(2x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}\\\\ \frac{\cos(x)\cos(2x)\sin(3x)-\cos(2x)\cos(3x)\sin(x)}{\sin(x)\sin(2x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}\\\\ \frac{ \cos(2x)[ \cos(x)\sin(3x)-\cos(3x)\sin(x)]}{\sin(x)\sin(2x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}\\\\ \frac{\cos(2x)[\sin(4x)\sin(2x)-\cos(3x)\sin(x)]}{\sin(x)\sin(2x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}\\\\ \frac{\cos(2x)[2\sin(4x)\sin(2x)]}{\sin(x)\sin(2x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}\\\\ \frac{2\cos(2x)\sin(4x)}{\sin(x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}\\\\ \frac{2\cos(2x)\sin(4x)}{\sin(x)\sin(3x)}-\frac{\cos(4x)\cos(2x)}{2\sin(3x)\sin(x)}\end{gather}

El problema es que no sé a dónde ir desde aquí (y debido a tantos cálculos involucrados, tampoco estoy seguro del resultado anterior).

Además, si ves una manera más elegante de resolver esto, por favor proporciona una pista (no la solución completa).

Answer 1

Hazlo así- Expande $\cot(3x-2x-x)$ en el

$$ \cot(A+B+C) = \dfrac{\cot(A)+\cot(B)+\cot(C)-3\cot(A)\cot(B)\cot(C)}{ 1-\cot(A)\cot(B)-\cot(B)\cot(C)-\cot(C)\cot(A)}$$

Sabemos que $\cot(0) = \infty$ .
El denominador es cero.
Así que, ...ya lo tienes.

Answer 2

Pistas:

(1) Factor de salida $$\frac{\cos(2x)}{\sin(x)\sin(3x)}$$ de su última expresión.

(2) Simplificar $$2\sin(4x) - \frac{1}{2}\cos(4x).$$

¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 3

$$\cot(A+B)=\dfrac{1-\tan A\tan B}{\tan A+\tan B}=\dfrac{\cot A\cot B-1}{\cot B+\cot A}$$

$$\iff\cot A\cot B=1+\cot(A+B)[\cot B+\cot A]$$

Establecer $A=x, B=2x$

$$\cot(A-B)=\dfrac{1+\tan A\tan B}{\tan A-\tan B}=\dfrac{\cot A\cot B+1}{\cot B-\cot A}$$

$$\iff\cot A\cot B=\cot(A-B)[\cot B-\cot A]-1$$

Establecer $A=3x,B=2x$

y $A=3x,B=x$

Answer 4

Aviso, aquí está el enfoque correcto seguido por OP., $$LHS=\cot(x)\cot(2x)-\cot(2x)\cot(3x)-\cot(3x)\cot(x)$$ $$=\frac{\cos(x)\cos(2x)}{\sin(x)\sin(2x)}-\frac{\cos(2x)\cos(3x)}{\sin(2x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}$$ $$=\frac{\cos(2x)[\sin(3x)\cos(x)-\sin(x)\cos(3x)]}{\sin(x)\sin(2x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}$$ utilizando $\color{blue}{\sin A\cos B-\sin B\cos A=\sin(A-B)}$ , $$=\frac{\cos(2x)[\sin(3x-x)]}{\sin(x)\sin(2x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}$$ $$=\frac{\cos(2x)}{\sin(x)\sin(3x)}-\frac{\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}$$ $$=\frac{\cos(2x)-\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}$$ $$=\frac{\cos(3x-x)-\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}$$ utilizando $\color{blue}{\cos(A-B)=\cos A \cos B+\sin A\sin B}$ , $$=\frac{\cos(3x)\cos(x)+\sin(3x)\sin(x)-\cos(3x)\cos(x)}{\sin(3x)\sin(x)}$$ $$=\frac{\sin(3x)\sin(x)}{\sin(3x)\sin(x)}$$ $$=1=RHS$$

Answer 5

Es sorprendente que todo el mundo haya pasado por alto esto, pero en realidad hay una solución muy simple y elegante para esta prueba. Así que, aunque esta pregunta es de hace más de un año, he decidido publicar mi prueba.

Comienzo con una simple ecuación:

$$\cot(2x+x)=\cot{3x}$$

Ahora aplicando la fórmula: $\cot(A+B)=\frac{\cot{A}\cot{B}-1}{\cot{A}+\cot{B}}$ obtenemos:

$$\frac{\cot{2x}\cot{x}-1}{\cot{2x}+\cot{x}}=\cot{3x}$$ $$\cot{2x}\cot{x}-1=\cot{2x}\cot{3x}+\cot{3x}\cot{x}$$ $$\cot{x}\cot{2x}-\cot{2x}\cot{3x}-\cot{3x}\cot{x}=1$$

y ya está.