Cada $T_3$ el espacio es $T_2$

Question

Demostrar que cada $T_3$ el espacio es $T_2$ .

Mi intento:

Supongamos que $x \neq y$ . Entonces $x \notin \{y\} = \operatorname{cl}(\{y\})$ porque $T_3$ significa $T_1$ lo que equivale a decir que los singeltons son cerrados.

Porque un $T_3$ el espacio es regular, podemos encontrar vecindades disjuntas $U$ de $x$ y $V$ de {y}. Pero una vecindad de $\{y\}$ es simplemente una vecindad de $y$ . Por lo tanto, podemos encontrar vecindades que separen los puntos $x,y$ . Por lo tanto, el espacio es Hausdorff.

¿Es esto correcto?

Answer 1

Normalmente, $T_3$ espacio son $T_2$ por definición: Un espacio es $T_3$ si es a la vez regular y Hausdorff (véase Artículo de Wikipedia sobre espacios regulares )

Si te interesa un ejemplo de espacio regular no Hausdorff, aquí tienes uno:

Añadir un punto $*$ a $\mathbb R$ : $X=\mathbb R\cup\{*\}$ . Dado $\tau$ la topología estándar en $\mathbb R$ , en $X$ poner la topología $\sigma$ :

$\sigma=\{A\in\tau: 0\notin A\}\cup\{A\cup\{*\}: A\in\tau, 0\in A\}$

En otras palabras, el nuevo punto es topológicamente indistiguible de $0$ .

Tenga en cuenta que un conjunto abierto/cerrado contiene $0$ si y sólo si contiene $*$ .

$(X,\sigma)$ claramente no es $T_2$ como $0$ y $*$ no tienen vecindades disjuntas.

Veamos que $(X,\sigma)$ es regular. Sea $x\in X$ y $A\subseteq X$ cerrado con $x\notin X$ . (Tenga en cuenta que $A\neq \{*\}$ porque los conjuntos colsed que contienen $*$ contienen también $0$ .)

Si $x\neq *$ entonces $x$ y $A\setminus\{*\}$ están separados por conjuntos abiertos en $\tau$ . Si uno de ellos contiene $0$ y, a continuación, añada $*$ a ella. Esto da lugar a dos conjuntos abiertos de $\sigma$ separando $x$ y $A$ .

Si $x=*$ entonces $0\notin A$ . Entonces, $A$ y $0$ están separados por conjuntos abiertos en $\tau$ . Añadir $*$ al conjunto abierto que contiene $0$ . Esto da lugar a dos conjuntos abiertos de $\sigma$ separando $x$ y $A$ .