Referencias para la teoría básica de superficies de revolución, cilindros y conos

Question

Estoy buscando referencias de libros donde se traten los siguientes tipos de problemas sobre la búsqueda de la ecuación que define una superficie de revolución, un cilindro o un cono. Son problemas que se suelen presentar cada semestre en el curso de cálculo multivariable para ingenieros de la Universidad de Costa Rica.

Cuando estuve en Costa Rica pregunté a los profesores más jóvenes sobre las referencias y nadie parecía saber, no he visto esos problemas en los libros de texto de cálculo, y todos parecían tener unos viejos apuntes que habían tomado prestados de otra persona cuando se enfrentaron a la misma situación de tener que enseñar cálculo multivariable y tuvieron que presentar estos temas en clase.

Los tipos de problemas a los que me refiero son del tipo siguiente.

1. Encuentra la ecuación del cilindro cuya directriz es la curva $$\begin{eqnarray} x^2 + y^2 + 2z^2 &= 8\\ x - y + 2z &= 0 \end{eqnarray}$$ y cuyas generatrices son paralelas a la línea $(x, y, z) = (-3, 1, 5) + t(2, 1, -4), \quad t \in \mathbb{R}$ .

2. Calcula la ecuación de la superficie de revolución que resulta de girar la recta $$\begin{eqnarray} x + y + z &= 0\\ y - z &= 0 \end{eqnarray}$$ alrededor del eje que es la intersección de los planos $x + y = 1$ y $z = 0$ .

En realidad, sé cómo resolver esos problemas formando un sistema de ecuaciones y eliminando variables hasta llegar a una ecuación que sólo implique $x, y, z$ decir, pero me gustaría tener algunas referencias donde se trate la teoría general de superficies de revolución, conos y cilindros.

Muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Puedes probar con "Sur la surface de revolution dont la courbure moyenne est constante" de Delaunay, pero sólo es para superficies de revolución de curvatura media constante. Sin embargo, dicho esto, aquí se mencionan muchas cosas interesantes, una de las cuales es el resultado del cálculo de variaciones.

Si intento resolver el problema de encontrar una superficie de revolución cuya área sea un mínimo para un volumen constante, obtengo un problema de optimización con una restricción. En efecto, las ecuaciones de euler lagrange darán lugar a una ecuación diferencial de la forma

$\frac{2}{\sqrt{1+y'^2}} + \lambda y = C$ , donde $\lambda$ es una constante (el multiplicador de lagrange) y $C$ es alguna otra constante.

Diferentes valores de $C$ dan lugar a diferentes superficies de revolución, $C=0$ da lugar a un círculo girado en torno a la $x-axis$ o más bien una esfera.

No estoy seguro de que eso ayude. Ben