Hizo un gran error en un cálculo conferencia: Cómo corregir sin tener que perder toda la credibilidad?

Question

Todos hemos aprendido de nuevo en clase de cálculo que $\int \frac{1}{x^2}dx$ $\frac{-1}{x}+C$ a través de la alimentación de la regla para las integrales. Sin embargo, mirando hacia atrás en mi libro de cálculo, se define la integral indefinida de una función de $f$ como la colección de todas las funciones de $F$ donde $F$ es una antiderivada de $f$. Pero, ¿no

\begin{equation} F(x) = \left\{ \begin{array}{lr} -\frac{1}{x}+C_1, & x>0\\\\ -\frac{1}{x}+C_2, & x<0 \end{array}\right. \end{equation}

una antiderivada de $\frac{1}{x^2}$. Creo que la derivada de la función anterior es $1/x^2$ sobre el dominio. Estoy haciendo esta realización tarde en la noche, así que tal vez su completamente de basura, pero el cálculo en el libro que estoy utilizando no hablar sobre este tema.

Answer 1

Yo sólo era quejaban de esto ayer, casualmente, para una función similar. Cálculo de los libros casi universalmente decir que $$\int \frac{dx}{x} = \ln\lvert x\rvert + C,$$ como si la suma del valor absoluto es una mejora en la generalidad. De hecho, tal y como lo describen, es incorrecta, porque $1/x$ y, en consecuencia, $\ln \lvert x \rvert$, tiene asíntotas a 0 y de esta desacopla la constante de integración un poco.

La razón es que la notación $\int f(x) \, dx$ es malo, o al menos, malo. Se sugiere que los límites de integración no importa, porque "sólo añadir una constante". De hecho, la diferencia entre las integrales $$\int_a^x \frac{dt}{t}$$ para $a > 0$ $a < 0$ es completa: no hay ningún valor de $x$ para que ambos se definen. Sólo difieren por una constante si el integrando es integrable en el intervalo entre dos diferentes valores de $a$. Así, por $a > 0$ $a < 0$ que son, en efecto, la definición de dos totalmente no relacionado funciones, no una sola función $\ln \lvert x \rvert + C$ por una sola constante $C$.

Answer 2

Sí, usted tiene la opción de una constante de integración en cada uno de los componentes del dominio de el integrando de la función.

Answer 3

Yo siempre he creído que la notación $F(x) = \int f(x)\, dx$ presentó para el cálculo de los estudiantes fue el argot para el teorema fundamental del cálculo. A este punto, no sólo queremos $F(x)$ es una antiderivada, pero también queremos ser capaz de escribir $F(x) = \int_a^x f(t)\, dt + F(a)$. En particular, esperamos que los estudiantes sepan (una versión de la FTC como $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$. Es cierto que el "$+C$" término es una manera conveniente resaltar que no hemos elegido la integración constante; sin embargo, tenemos que ser capaces de "conectar los puntos" $a$ $x$conectado a un componente del dominio de $f$.