Pruebas alternativas que $(a^2+b^2)/(ab+1)$ es un cuadrado cuando es un entero

Question

Deje que $a,b$ ser enteros positivos.

Cuando $$k = \frac{a^2 + b^2}{ab+1}$$ es un número entero, que es un cuadrado.

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Prueba 1: (Ngo Bảo Châu): Reordenar para obtener $a^2-akb+b^2-k=0$, como una ecuación cuadrática en $un$ esto tiene dos valores: $a$ y $kb - a = (b^2-k)/$. (La segunda raíz se determina de dos formas diferentes de la expansión $(x-r_1)(x-r_2) = x^2 - (r_1 + r_2)x + r_1 r_2$.)

Ahora supongamos que tenemos un total de $a,b$ tales que $k$ es un número entero, pero no un cuadrado, por la investigación sobre las raíces tenemos que la segunda raíz es un número entero distinto de cero desde $k,b,a$ son números enteros y $k \ = b^2$, además de que es positivo que se ve fácilmente a partir de su definición de la ecuación.

WLOG se asume que $a \ge b$, de modo que la segunda raíz es estrictamente menor que $a$. Esto conduce a una decente, la sustitución de $a$ con la segunda raíz.

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Prueba 2 (Don Zagier): Aplicar la reducción de la teoría (en concreto, Sätze 1 y 2 de la Sección 13, de mi libro sobre cuadrática campos) a la forma cuadrática $x^2 + kxy + y^2$, que es el único reducción de una forma cuadrática en su clase de equivalencia.

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Tenga en cuenta que la Prueba 2 es prácticamente el mismo, como Prueba de 1 cuando escribe en detalle explícito, pero yo no podía leer Zagier del libro, porque no puedo leer alemán.

Me gustaría saber más se aproxima a este y otros alternativos pruebas de este resultado si es posible! Gracias de antemano.

Yo también estaría interesado en los problemas relacionados con (especialmente los más fáciles de naturaleza análoga) y de los textos que cubren la reducción de la teoría en inglés.

Answer 1

Este es, en mi humilde opinión, uno de los más populares (y en realidad el más hermoso) problemas en la teoría de números. Es IMO de 1988 Problema 6.

La puedes encontrar en estos enlaces (la mayoría de las soluciones son las mismas que las dos se comentó, pero usted puede encontrar algunos de los hechos más acerca de estos problemas si se ve a continuación):

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?&t=57282 (master link)

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=192471

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=195433

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=297533

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=271870

Este es un fresco de la generalización de este problema (se puede ver esto, también):

Problema. Deje que $a,b$ ser enteros positivos de satisfacciones $$(ab)^{n-1}+1 \mediados de los a^n +b^n.$$ A continuación, la cantidad de $\frac{a^n +b^n}{(ab)^{n-1}+1}$ es un perfecto $n^{th}$ de energía.

Aquí están algunas buenas problemas relacionados con este:

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=119551

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=345094

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=375674

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=26374

Y, en aras de la exhaustividad sobre este problema, consulte Vieta Saltar Método. De la OMI (1988 es el mejor ejemplo de Vieta Saltar!)

Answer 2

Vamos a demostrar el caso general: si $a, b, n\in \mathbb{N}$ y $$c:=\frac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1}$$ entonces $c\in\mathbb{N}$ es un $n$th poder.

Prueba: con el fin De mostrar, es claro que necesitamos express $c$ $c=t^n$ $t\in\mathbb{N}$, ¿no?

Entonces, consideremos $a=t^{\alpha}, b=t^{\beta}$. Por qué? Porque a menos que $a, b$ ellos son el poder de algunos otros $t\in\mathbb{N}$, entonces la declaración de no ser cierto en general. Esta es una observación crucial. Estamos dado que $a, b$ son números enteros (WOLOG hemos elegido como enteros positivos) y por lo tanto, si $c$ se supone que es de $t^n$, entonces $a, b$ tiene que ser algo de energía de $t$; de lo Contrario, la contradicción llegará.

Así tenemos $$c=\frac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1}$$ $$es decir, c =\frac{(t^\alpha)^n+(t^\beta)^n}{(t^{\alpha+\beta})^{n-1}-1}$$ $$es decir, c =\frac{t^{n\beta}(t^{n\alpha-n\beta})+1}{t^{(\alpha+\beta)(n-1)}+1}$$

La intuición dice que podemos elegir $\beta=1$. Pero que sería la etapa en particular. Así que vamos a $\beta=\beta_0$. Ahora, con el fin de hacer $c$ as integer, debemos tener $$t^{(\alpha+\beta)(n-1)}+1 \mediados de t^{n\alpha-n\beta}+1$$ , que es la verdadera iff $$(\alpha+\beta_0)(n-1)\mid (n\alpha-n\beta)$$ $$\text{si}\; (\alpha+\beta_0)(n-1)s=n\alpha-n\beta \; \text{para algunas de}\; s\in\mathbb{N}$$ $$\text {}\; \alpha=\frac{-\beta_0(2n-1)}{(n-1)s-n}$$

Elegimos $s$ de tal manera que $\alpha$ en $\mathbb{N}$. Por el bien de la simplicidad tomamos $s=-1$ entonces $\alpha=\beta_0(2n-1)$. Así tenemos $a=t^{\alpha}=t^{\beta_0 (2n-1)}, b=t^{\beta_0}, \beta_0 \in\mathbb{N}.$ Y, en consecuencia, $c=t^{n\beta_0}$. Desde $c$ debe $n$th poder, por lo que se deduce que $\beta_0=1$ y por tanto $\alpha=2n-1$, de modo que $c=t^n$. Hemos terminado.