Deje que $a,b$ ser enteros positivos.
Cuando $$k = \frac{a^2 + b^2}{ab+1}$$ es un número entero, que es un cuadrado.
Prueba 1: (Ngo Bảo Châu): Reordenar para obtener $a^2-akb+b^2-k=0$, como una ecuación cuadrática en $un$ esto tiene dos valores: $a$ y $kb - a = (b^2-k)/$. (La segunda raíz se determina de dos formas diferentes de la expansión $(x-r_1)(x-r_2) = x^2 - (r_1 + r_2)x + r_1 r_2$.)
Ahora supongamos que tenemos un total de $a,b$ tales que $k$ es un número entero, pero no un cuadrado, por la investigación sobre las raíces tenemos que la segunda raíz es un número entero distinto de cero desde $k,b,a$ son números enteros y $k \ = b^2$, además de que es positivo que se ve fácilmente a partir de su definición de la ecuación.
WLOG se asume que $a \ge b$, de modo que la segunda raíz es estrictamente menor que $a$. Esto conduce a una decente, la sustitución de $a$ con la segunda raíz.
Prueba 2 (Don Zagier): Aplicar la reducción de la teoría (en concreto, Sätze 1 y 2 de la Sección 13, de mi libro sobre cuadrática campos) a la forma cuadrática $x^2 + kxy + y^2$, que es el único reducción de una forma cuadrática en su clase de equivalencia.
Tenga en cuenta que la Prueba 2 es prácticamente el mismo, como Prueba de 1 cuando escribe en detalle explícito, pero yo no podía leer Zagier del libro, porque no puedo leer alemán.
Me gustaría saber más se aproxima a este y otros alternativos pruebas de este resultado si es posible! Gracias de antemano.
Yo también estaría interesado en los problemas relacionados con (especialmente los más fáciles de naturaleza análoga) y de los textos que cubren la reducción de la teoría en inglés.
