Demostrar o refutar la afirmación

Question

Dejemos que $f: \Bbb R \rightarrow \Bbb R$ sea una función continua. . Supongamos que f no es una función constante y $\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = 0$ . Entonces existe un $\epsilon > 0$ tal que $| f (x) |$ alcanza cada valor en el intervalo abierto (0, $\epsilon$ )

Pregunta: Demostrar o refutar cada una de las afirmaciones

¿Puede alguien ayudarme con ello?

Answer 1

Primero reemplazar $f(x)$ por $|f(x)|$ . Desde $f$ no es constante hay un número real $a$ tal que $f(a)>0$ . Sea $v$ sea cualquier número en $(0,f(a))$ .

Desde $\lim_{x\to\infty} f(x) = 0$ podemos encontrar un número real $b>a$ tal que $f(b)<v$ . Por el teorema del valor intermedio $f(x)$ toma el valor $v$ en el intervalo $[a,b]$ .

Por lo tanto, $f(x)$ toma todos los valores del intervalo $(0,f(a))$ .

Answer 2

Hay un lema útil que se aplica aquí.

Lema: Dejemos que $g:\Bbb R \longrightarrow \Bbb [0,+\infty)$ sea una función continua tal que $\lim_{x\to\pm\infty} g(x) = 0$ . Entonces $g$ alcanza su máximo.

Prueba: Si $g\equiv 0$ entonces el lema es obviamente cierto. Supongamos entonces que $g(x_0) > 0$ para algunos $x_0\in\Bbb R$ .

Tomando $g(x_0)$ como el $\epsilon$ en la definición habitual de límite, la condición de límite garantiza que hay $M_+, M_- > 0$ de manera que siempre que $x\in(-\infty, -M_-)\cup(M_+,+\infty)$ tenemos $g(x) < g(x_0)$ .

La restricción $\hat g$ de $g$ a $[-M_-,M_+]$ es una función continua en un conjunto compacto y, por tanto, alcanza su máximo. Además, por supuesto, debemos tener $x_0 \in [-M_-,M_+]$ así que $\max \hat g \geqslant g(x_0)$ . Esto garantiza que $g < \max \hat g$ en el exterior $[-M_-,M_+]$ por lo que se deduce que $g$ alcanza su máximo en $[-M_-,M_+]$ , obviamente con $\max g = \max \hat g$ . $\square$

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Con el lema fuera del camino, podemos centrarnos en nuestro problema, tomando $g = |f|$ .

En este punto, porque $g$ es continua, lo único que queda es tomar $\epsilon = \max g$ y aplicar el teorema del valor intermedio. Como $f$ no es constante, tenemos la garantía de que $\max g > 0$ .

Answer 3

Tome un número real arbitrario $x_0$ y que $\epsilon=|f(x_0)|$ ya que $f$ no es constante, podemos suponer que $\epsilon\ne0$ . Entonces, como $\lim_{x\to\infty}=0$ hay algún número $x_1'>x$ con $|f(x_1')|<\epsilon/2$ . Desde $f$ - y por lo tanto $|f|$ - es continua, por el teorema del valor intermedio existe un número $x_1$ entre $x_0$ y $x_1'$ donde $f(x_1)=\epsilon/2$ .

Repitiendo este proceso desde $x_1$ nos da una secuencia de números reales monótonamente creciente $x_0<x_1<x_2<\dots$ con $|f(x_n)|=\epsilon/2^n$ . Cualquier número $x\in(0,\epsilon)$ debe estar dentro de uno de los intervalos $[\epsilon/2^{k+1},\epsilon/2^k]$ para algunos $k$ y, por tanto, por el teorema del valor intermedio existe $c$ entre $x_k$ y $x_{k+1}$ con $|f(c)|=x$ . La afirmación es cierta.