Ayuda con la prueba por inducción, por favor. Puede que no esté entendiendo cómo se trabaja con los factoriales.

Question

Demostrar que para todos los enteros $n \ge 1, 1\cdot1! + 2\cdot2! + 3\cdot3! + \cdots + n\cdot n! = (n+1)! - 1$ .

OK, así que verifiqué el caso base $n = 1: 2! - 1 = 1$

Supuse que para todos los $k \ge n, P(k) = (k+1)! - 1$

No estoy seguro de cómo probar la verdad para $P(k+1)$ Aunque entiendo que el primer paso es reemplazar todos los $k$ valores con $k+1$ que da como resultado $$1\cdot1! + 2\cdot2! + 3\cdot3! + \cdots + k!\cdot k! + (k+1\cdot k+1)! = (k+2)! - 1$$

¿Y ahora qué?

Answer 1

OK, así que estamos tratando de mostrar aquí que

$\displaystyle \sum_1^n j\cdot j! = (n + 1)! - 1, \tag 1$

y queremos utilizar la inducción para hacerlo. Nuestro álgebra OP verificó correctamente el caso $n = 1$ Así que podemos aceptarlo como punto de partida sin más.

Ahora bien, si suponemos la existencia de unos $k$ tal que

$\displaystyle \sum_1^k j\cdot j! = (k + 1)! - 1, \tag 2$

sólo tenemos que añadir $(k + 1) (k + 1)!$ a cada lado para obtener

$\displaystyle \sum_1^{k + 1} j\cdot j! = \sum_1^k j\cdot j! + (k + 1)(k + 1)!$ $= (k + 1)! + (k + 1) (k + 1)! - 1 = ((k + 1) + 1) (k + 1)! - 1$ $= (k + 2) (k + 1)! - 1 = (k + 2)! - 1, \tag 3$

y somos ¡¡¡Hecho!!!

Nota añadida en la edición, jueves 6 de febrero de 2020 12:22 PM PST: Algunas reflexiones sobre el intento de prueba de nuestro OP: uno no puede simplemente reemplazar $k$ por $k + 1$ y esperar que la fórmula resultante sea vinculante; que es, de hecho, lo que estamos tratando de demostrar; más bien, hay que utilizar las reglas ordinarias de la aritmética y el álgebra para realizar la suma de $(k + 1)(k + 1)$ a cada lado de (2), como se hizo aquí. Fin de la nota.

Answer 2

De hecho, si $n=1$ Este importe consiste en una única suma, que es $1\cdot 1!=1$ y que coincide con $(1+1)!-1$ .

Si $n$ es un número natural tal que $n\geq 1$ y se supone que la hipótesis de inducción es verdadera para $n$ es decir, si $$\sum_{k=1}^n k\cdot k!=(n+1)!-1,$$ entonces esa hipótesis también es cierta para $n+1$ Es decir, $$\sum_{k=1}^{n+1}k\cdot k!=(n+2)!-1,$$ así que $$\sum_{k=1}^{n+1}k\cdot k!=\sum_{k=1}^n k\cdot k!+(n+1)\cdot (n+1)!\underbrace{=}_{\text{induction hypothesis}}(n+1)!-1+(n+1)\cdot (n+1)!=(1+n+1)\cdot (n+1)!-1=(n+2)!-1$$ y la prueba se concluye, por el principio de inducción.