Ayuda con la prueba por inducción, por favor. Puede que no esté entendiendo cómo se trabaja con los factoriales.

Question

Demostrar que para todos los enteros $n \ge 1, 1\cdot1! + 2\cdot2! + 3\cdot3! + \cdots + n\cdot n! = (n+1)! - 1$ .

OK, así que verifiqué el caso base $n = 1: 2! - 1 = 1$

Supuse que para todos los $k \ge n, P(k) = (k+1)! - 1$

No estoy seguro de cómo probar la verdad para $P(k+1)$ Aunque entiendo que el primer paso es reemplazar todos los $k$ valores con $k+1$ que da como resultado $$1\cdot1! + 2\cdot2! + 3\cdot3! + \cdots + k!\cdot k! + (k+1\cdot k+1)! = (k+2)! - 1$$

¿Y ahora qué?

Answer 1

Si está trabajando con pruebas por inducción, entonces ha tratado (con suerte) con $\Sigma$ -notación para hacer las sumas más manejables. En mi experiencia, también hace que las demostraciones por inducción con sumas sean más fáciles de improvisar y comprender (véase esta respuesta por una de esas razones).

Ahora, con el posible riesgo de simplificar demasiado algunas cosas, tienes el caso base. Puedes asumir o hacer la hipótesis inductiva (para $k\geq1$ ) que

$$1\cdot1!+2\cdot2!+\cdots+k\cdot k!=\color{blue}{\sum_{i=1}^k i\cdot i!}=\color{blue}{(k+1)!-1}.\tag{1}$$

Utilizando el caso base y la suposición (es decir, la hipótesis inductiva) expuesta en $(1)$ Su objetivo es demostrar que

$$\color{green}{\sum_{i=1}^{k+1}i\cdot i!} = \color{green}{(k+2)!-1}\tag{2}$$

naturalmente. Y podemos hacerlo de la siguiente manera:

$$\begin{align} \color{green}{\sum_{i=1}^{k+1}i\cdot i!} &= \color{blue}{\sum_{i=1}^ki\cdot i!} + \underbrace{(k+1)\cdot(k+1)!}_{\substack{\text{evaluate}\\\text{sum at $k=i+1$}}}\\[1em] &= \underbrace{[\color{blue}{(k+1)!-1}]}_{\substack{\text{use inductive}\\\text{hypothesis from $(1)$}}} + (k+1)(k+1)!\\[1em] &= (k+1)!-1+(k+1)(k+1)! & \text{(simplify)}\\[1em] &= (k+1)![1+(k+1)]-1 & \text{(rearrange and factor out $(k+1)!$)}\\[1em] &= (k+1)!(k+2)-1 & \text{(simplify)}\\[1em] &= \color{green}{(k+2)!-1}. & \text{(by definition of factorial)} \end{align}$$ Ya que hemos demostrado lo que nos propusimos, es decir, que $(2)$ se desprende del caso base y de la suposición de $(1)$ Podemos dar por terminado el día. Espero que eso ayude.

Answer 2

Realmente no necesitas la inducción aquí (o un uso obvio de la inducción) ya que tienes $$(k+1)!=(k+1)\cdot k!= k\cdot k!+k!\iff k\cdot k!= (k+1)!- k!$$ para todos $k$ para obtener una suma telescópica.

Answer 3

Sugerencia: Si $f(n) = 1*1! + 2*2! + ..... + n*n!$ entonces $f(n+1) = 1*1! + 2*2! + ..... + n*n! + (n+1)(n+1)! = f(n) + (n+1)(n+1)!$ .

Pista 2: $m!(m+1) = (m+1)!$ y $m!*m + m! {=\over{\text{factor}}} m!(m+1) = m!(m+1)= m!$ .

Así que si asumimos $f(k) = 1*1! + 2*2! + ..... + k*k!= (k+1)! - 1$ .

.

Entonces $f(k+1) = f(k) + (k+1)(k+1)! =$

.

$(k +1)! -1 + (k+1)(k+1)!=(k+1)! + (k+1)(k+1)! - 1 = (k+1)![1+(k+1)]-1=$

.

$(k+1)![k+2]-1 = (k+2)!-1$

Answer 4

Supongamos que $P(n-1)$ : $$\sum_{k=1}^{n-1}k\cdot k!=n!-1$$ Añadir $n\cdot n!$ a ambas partes: $$\begin{align} \sum_{k=1}^nk\cdot k! &=n\cdot n!+n!-1\\ &=(n+1)n!-1\\[9pt] &=(n+1)!-1 \end{align}$$ y tenemos $P(n)$ .

Answer 5

Después del primer paso que usted mencionó, tenemos

\=>1.1!+2.2!+3.3!+.......+n.n!+(n+1)(n+1)!

Como segundo paso, ponga el valor de la expresión 1.1!+2.2!+3.3!+..........n.n! que es igual a (n+1)!-1 de la ecuación original al paso 1. La expresión se convertirá entonces en

\= (n+1)!-1+(n+1)(n+1)!

\=(n+1)!(1+n+1)-1

\=(n+1)!(n+2)-1

\=(n+2)!-1

\=((n+1)+1)!-1