Encontrar todos los pares de soluciones de números naturales

Question

Estoy tratando de encontrar todos los pares de soluciones $(x,p) \in \mathbb{N}^2$ donde $p \in \{5,7,11,17\}$ y $\sqrt{x^2-px}$ es un número natural.

Mi trabajo hasta ahora. Deja que $y = \sqrt{x^2-px}$ . Así que $y^2 = x(x-p)$ .

Sé que $gcd(x,x-p)$ es igual a 1 o $p$ . Así que consideraré ambos casos por separado (como casos 1 y 2 respectivamente).

También he demostrado el hecho de que si $m,n \in \mathbb{N}$ y $mn$ es un cuadrado perfecto con $gcd(m,n) = 1$ entonces $m$ y $n$ son también cuadrados perfectos.

Para el caso 1, en el que $gcd(x,x-p) = 1$ Lo entiendo. $x$ y $x-p$ son ambos cuadrados perfectos. Pero no estoy seguro de cómo seguir adelante. Y no estoy seguro de por dónde empezar con el caso 2.

Answer 1

Para el caso en que $p|x,(x-p)$ entonces $x(x-p) = p^2a(a-1)$ para algún número entero positivo $a$ [asegúrate de ver por qué]. Por lo tanto, no sólo debe $p^2a(a-1)$ ser un cuadrado perfecto, pero también $a(a-1)$ también debe ser un cuadrado [asegúrate de ver por qué]. Como GCD $(a,a-1)$ es $1$ esto implica tanto $a,a-1$ deben ser cuadrados. Sin embargo, se puede ver fácilmente que los únicos 2 cuadrados de elementos en $\mathbb{Z}^{\ge 0}$ que se diferencian por $1$ son $a-1=0$ y $a=1$ .

Para el caso en que GCD $(x,x-p)=1$ Como ya ha señalado, ambos $x$ y $x-p$ deben ser cuadrados. Sin embargo, si ambos $x$ y $x-p$ son cuadrados, entonces escribiendo $x=y^2$ entonces $y$ debe ser inferior a $p$ . [De hecho: Supongamos que $y \ge p$ . Entonces, incluso $(y-1)^2$ satisface $(y-1)^2 =y^2-2y+1 \le y^2-2p+1 < y-p$ .] Esto no deja muchas opciones para que usted pueda comprobar, para cada $p \le 17$ .