¿Es cada compacto $n$ -manifiesto que se sumerge en $\mathbb{R}^{n+1}$ ¿se puede suavizar?

Question

Supongamos que $M$ es una compacta topológica $n$ -y $f: M \rightarrow \mathbb{R}^{n+1}$ es una inmersión topológica, es decir, una incrustación topológica local. Entonces es $M$ ¿se puede suavizar? Con esto, sólo quiero decir que "hace $M$ llevar una estructura lisa compatible como un colector', la inmersión particular no tiene que ser 'suavizable' aquí.

Me parece que la respuesta es sí, pero el problema es que si la inmersión original no se comporta bien globalmente, entonces podrías tener algunos problemas al tratar de "suavizar su imagen" usando barrios tubulares o algo así. Sin embargo, ¿quizás un argumento de partición de la unidad sea suficiente? No estoy seguro de cómo tratar este problema en dimensiones superiores, o incluso en la dimensión $4$ que es el caso por el que siento más curiosidad.

Esto está relacionado con una pregunta de seguimiento en este hilo; la pregunta original fue resuelta:

https://mathoverflow.net/questions/390922/is-there-a-4-manifold-which-immerses-in-mathbbr6-but-doesnt-embed-in

Answer 1

He aquí una posible estrategia sobre cómo encontrar un ejemplo de este tipo (no suavizable, sumergible).

1. Encuentre un 4manifold cerrado $M$ con $k(M)=0$ (aquí $k$ es el invariante Kirby-Siebenmann), pero no suavizable (por la teoría de Donaldson o a través de los invariantes SW), $\pi$ -(ver más abajo).

2. Recordemos que $k(M)=0$ implica que $M\times {\mathbb R}$ es suavizable. Por ejemplo, si $M$ es la suma conectada de dos $E8$ -entonces $M$ no es suavizable (Donaldson), pero $k(M)=0$ (ya que $k$ es aditivo bajo la suma conectada).

Definición. Un colector $M$ se llama $\pi$ -(creo que la terminología se debe a Hirsch) si $M\times {\mathbb R}$ es suave y paralelizable.

Ahora bien, por la teoría de Smale-Hirsch, cada colector paralelizable admite una inmersión en el espacio euclidiano equidimensional. Así, si se consigue encontrar $M$ satisfaciendo todas estas condiciones, hay una inmersión $M\times {\mathbb R}\to {\mathbb R}^5$ por lo tanto, una inmersión plana $M\to {\mathbb R}^5$ . Al mismo tiempo, $M$ no es suavizable.

Desgraciadamente, $M$ igual a la suma de dos $E8$ -no es una $\pi$ -manifold, por lo que hay que profundizar. Lo que se necesita es $M$ que es de espín y tiene firma cero, entonces $M$ debe ser ser un $\pi$ -manifiesto. (Dado que el giro implica que es casi paralelizable, mientras que la desaparición de la firma implica que $p_1(M)=0$ , juntos estos debe implican un $\pi$ -ver la Proposición 8.4 de A.Kosinski, "Differential Manifolds". La advertencia es que la prueba de que obtenemos una $\pi$ -manifold supone que $M$ es suave; queda por comprobar si la prueba puede modificarse para trabajar con el haz tangente topológico).

Answer 2

Para complementar la respuesta de Moishe Kohan, si M es orientable y tiene dimensión $>4$ si la inmersión es localmente plana (una condición técnica necesaria para inducir un mapa sobre haces tangentes topológicos), entonces $M$ es suavizable.

Esta es una aplicación de algunos grandes teoremas de la topología diferencial. Hagamos primero la parte fácil, si tenemos una inmersión que se comporta lo suficientemente bien como para inducir un mapa sobre haces topológicos tangentes (a veces llamados microhaces), entonces podemos descomponer el microhaz trivial de rango (n+1) en $M$ como la suma del microbundle de $M$ y un haz de rango 1. A partir de la orientabilidad de $M$ debe ser un haz trivial de rango 1.

Por lo tanto, de forma estable el microbucle tangente de $M$ es trivial. Una consecuencia de la teoría del alisamiento es que, por encima de la dimensión 4, las estructuras lisas hasta la concordancia están en biyección con los ascensos del microbulbo estable a una estructura de haz vectorial estable (hasta alguna equivalencia). Dado que el microbulbo es establemente trivial, siempre tiene una elevación (estable) al haz vectorial trivial. Por lo tanto, $M$ se puede suavizar. Me limitaré a señalar aquí que este argumento implica que todas las variedades (topológicamente) paralelizables por encima de la dimensión 4 son alisables. Por alguna razón no he podido encontrar un enunciado de este tipo, pero es un corolario fácil de este enunciado estable de la teoría del alisado.

No estoy seguro de que la inmersión en codimensión 1 implique siempre que exista una inmersión localmente plana, creo que se sabe que no necesariamente hay una arbitrariamente cercana, pero estas cosas pueden ponerse muy feas así que yo no apostaría ni en un sentido ni en otro.