Hay un valor entero polinomio $F$ tal que para todos los primer $p$, $F(p)$ es divisible por un primo mayor que $p$? Por ejemplo, $n^2+1$ no funciona, ya que $7^2+1 = 2 \cdot 5^2$. Puedo ver que sin pérdida de generalidad se puede suponer que $F(0) \ne 0$. También, es suficiente para encontrar un polinomio donde la propiedad es verdadera para suficientemente grande prime $p$, ya que podría multiplicar esa polinomio por algunos de los mejores en la suficientemente amplia gama y solucionar todos los casos menores.
Creo que es posible que no existen tales polinomios, hay alguna buena sugerencia para probar esto?
No soy capaz de encontrar soluciones a $\text{gpf}(p^4+1) \le p$ primer $p \le 10000$ donde $\text{gpf}$ es el mayor factor principal, pero hay un montón de $\text{gpf}(p^3+1) \le p$, por ejemplo,$\text{gpf}(2971^3+1) = 743 \lt 2971$. Así que supongo que $F(p) = p^4+1$ podría ser un ejemplo. También comprobé poderes superiores para las pequeñas $p$, y no podía encontrar soluciones, por lo $k \ge 4 \rightarrow \text{gpf}(p^k+1) \gt p$ es plausible.
