¿Qué es la cohomología de gavillas intuitivamente?

Question

¿Qué es la cohomología de gavillas intuitivamente? Para los sistemas locales es la cohomología ordinaria con coeficientes retorcidos. Pero lo que si la gavilla en cuestión está lejos de ser constante? ¿Se puede seguir entendiendo la cohomología de gavillas de alguna manera "geométrica"? Por ejemplo, me interesaría mucho el caso de la cohomología coherente $\mathcal{O}_X$ -Módulos. O incluso sólo paquetes de líneas.

Answer 1

Una gavilla $\mathcal{F}$ en un espacio topológico $X$ es igual a un homeomorfismo local en $X$ : Partiendo de la gavilla se toma la unión disjunta de los tallos y se pone sobre ella la topología generada por los conjuntos $[U,f]:=$ { $f_x \in \mathcal{F}_x \mid x \in U$ } donde $U$ abarca todos los conjuntos abiertos de $X$ , $f \in \mathcal{F}(U)$ y $f_x$ denota la imagen de $f$ en el tallo. Esto se llama el "espace etalé" de la gavilla. El mapa que asigna los tallos a "su" punto es un homeomorfismo local.

Por otro lado se puede recuperar una gavilla a partir de un homeomorfismo local $E \rightarrow X$ tomando como valor en el conjunto abierto $U$ las secciones $U \rightarrow E$ del mapa dado. Esto define una equivalencia de categorías.

Así que una manera de ver la cohomología de gavillas geométricamente es convertir las gavillas en objetos geométricos de esta manera - entonces tenemos tanto esquemas como gavillas viviendo en el mismo entorno y vemos que la teoría de gavillas es sobre mapas de esquemas a gavillas.

Ahora bien, una intuición sobre la cohomología es que mide cuántas secciones más se ganan cuando se hace más local. Para entrar en un marco en el que se pueda tratar adecuadamente esta localización, se puede pasar a la categoría de tramas simpliciales sobre esquemas y allí introducir una noción adecuada de cuándo un mapa es una equivalencia: Un objeto simplicial es una secuencia de objetos conectados por un montón de mapas; el ejemplo que nos interesa en este momento es el del nervio de una cubierta: Dada una cubierta $\coprod U_i \rightarrow X$ se puede producir una secuencia de objetos de este tipo poniendo $\coprod U_i$ en el nivel cero, las intersecciones por pares de los $U_i$ en el nivel 1, las intersecciones triples en el nivel 2 y así sucesivamente. Otro ejemplo es poner el mismo $X$ en cada nivel -la noción de equivalencia es tal que estos dos objetos simpliciales son equivalentes en nuestra nueva categoría. Salir de uno de ellos es lo mismo que salir del otro, hasta la equivalencia, pero hay un sentido en el que el objeto de intersección es el que hay que tomar ("es cofibrante"), en lugar de $X$ .

Ahora bien, los diferentes niveles del complejo de Cech surgen del mapeo de cada nivel del nervio. A grandes rasgos, tomando el $i$ La cohomología te dice entonces cuántas de las secciones compatibles (compatibles significa si pasas a la siguiente etapa de intersección) en el $i$ de la etapa ya estaban allí en el $i-1$ primera etapa.

* Editar *Seré un poco más explícito sobre esto: Tenemos la secuencia de intersecciones de los objetos en una cobertura

$$\coprod U_i \Leftarrow \coprod U_i \cap U_j \Lleftarrow \coprod U_i \cap U_j \cap U_k \ldots$$

En este caso, los dos mapas de la etapa cero son los que incluyen $U_i \cap U_j$ en $U_i$ , $U_j$ respectivamente, los tres mapas en la primera etapa son los que dejan $i$ , resp. $j$ , resp. $k$ parte, etc. Ahora mapea desde este arreglo completo a un conjunto de grupos abelianos (es decir, aplica el conjunto a todos estos objetos y flechas). Mapear desde una unión disjunta (coproducto) es lo mismo que dar un montón de mapas, uno desde cada constituyente del coproducto, así $\mathcal{F}(\coprod U_i)=\prod \mathcal{F}(U_i)$ . Dado que los valores de $\mathcal{F}$ son grupos abelianos podemos tomar sumas alternas de flechas paralelas y así obtener un diagrama

$$\prod \mathcal{F}(U_i) \rightarrow \prod \mathcal{F}(U_i \cap U_j) \rightarrow \prod \mathcal{F}(U_i \cap U_j) \rightarrow \ldots$$

Esto es un complejo y su cohomología es de lo que estamos hablando. $(x_i) \in \prod \mathcal{F}(U_i)$ al estar en el núcleo del primer morfismo significa que la diferencia de los dos mapas de restricción es cero, es decir, las restricciones a los solapamientos $x_i \mid _{U_i \cap U_j}$ y $x_i \mid _{U_i \cap U_j}$ son iguales, es decir, como $\mathcal{F}$ es una gavilla que pegan a algo definido en todo $X$ . Por ello, la cohomología zeroth del complejo (que es sólo el núcleo, ya que no hay mapa entrante) son las secciones gobal de la gavilla.

Pero cuando sacamos sólo el núcleo de $\prod \mathcal{F}(U_i)$ separando así los sistemas compatibles, ¿cuántos sistemas *in*compatibles hemos tirado? Responder a esto nos diría cuántas secciones más obtenemos localmente frente a las globales (con respecto a esta cubierta elegida).

Cualquier familia de secciones definidas en el $U_i$ , $(x_{i}) \in \prod \mathcal{F}(U_i)$ nos da una familia en las intersecciones dobles $(x_{ij}:=x_i \mid _{U_i \cap U_j} - x_j \mid _{U_i \cap U_j}) \in \prod \mathcal{F}(U_i \cap U_j)$ . Además, si nuestra familia era compatible, ¡ésta es la familia cero, por definición de compatible! Así que es una buena idea estudiar las familias de las secciones de la $U_i$ a través de las familias de secciones del $U_i \cap U_j$ que inducen - de esta manera nos libramos de las secciones globales y obtenemos exactamente la diferencia que nos interesa.

Pero ¿cómo podemos caracterizar a las familias $x_{ij} \in \prod \mathcal{F}(U_i \cap U_j)$ que provienen de familias de la $U_i$ ? Bueno, estos satisfacen la "condición de coyuntura" $x_{ij} \mid_{ijk} - x_{ik} \mid_{ijk} + x_{jk} \mid_{ijk}$ - lo ves sustituyendo $x_{ij}=x_i-x_j$ etc. - esto es lo mismo que estar en el núcleo del segundo mapa del complejo. Llamemos a una familia que satisface esto una familia 2 coincidente (2 por las intersecciones dobles) y llamemos a la colección de ellas $m2Fam$ (asimismo $2Fam$ para la recogida de todo 2-familias). Sin embargo, no basta con ser una 2-familia coincidente para proceder de una 1-familia; hay 2-familias coincidentes "exóticas" que no surgen de esta manera - para ver cuántas podemos tomar el cociente de todas las 2-familias coincidentes por las que proceden de 1-familias. Esto es $H^1$ . Es un término de error para nuestro cálculo tentativo de la diferencia entre las secciones globales y las secciones en la cobertura en términos de coincidencia de 2 familias.

La escritura de las ecuaciones de estas colecciones es muy vaga (por ejemplo, " $1Fam - 0Fam$ " que significa la colección de 1-familias sin que 0-familias, "=" que significa "está parametrizado por" o lo que sea), tenemos $1Fam - 0Fam = m2Fam - H^1$ porque más o menos "definimos" $H^1:=m2Fam - (1Fam - 0Fam)=m2Fam - (1Fam - m1Fam)$ (esto último porque $m1Fam=0Fam$ ).

Del mismo modo, si queremos saber cuántas familias 2 hay que no estaban ya como familias 1 (es decir, si queremos determinar $2Fam - 1Fam$ ), parece una buena idea mostrar las 2-familias como coincidentes con las 3-familias porque las 1-familias serán eliminadas en el proceso de traducción. Sin embargo, no todas las 3-familias coincidentes surgen de esta manera; obtenemos $H^2=m3Fam - (2Fam - 1Fam)$ y así sucesivamente - $H^n=m(n+1)Fam - (nFam - (n-1)Fam)$ .

También es instructivo recordar que antes de comparar $2Fam$ y "su subcolección" $1Fam$ tenemos que mapear $1Fam$ en $2Fam$ y en el proceso la subcolección $0Fam$ de $1Fam$ es asesinado y $1Fam$ se convierte en $(1Fam - 0Fam)$ . Así que en realidad queremos estamos hablando de $2Fam - (1Fam - 0Fam)$ . Haciendo esta pequeña rectificación de forma recursiva en la fórmula $H^n=m(n+1)Fam - (nFam - (n-1)Fam)$ te da un montón de diferencias entre paréntesis anidados y hace que aparezcan las sumas alternas que conoces por la característica de Euler... (fin de la edición)

Espero que haya sido una primera (edición: y segunda :-) aproximación inteligible. La misma imagen es válida cuando se pasa a la cohomología sobre otros sitios - allí no se tiene el espace etalé pero tomar secciones sigue siendo lo mismo que mapear en la gavilla por el lema de Yoneda. Puedes leer más sobre esto y todas las nociones implicadas en el cohomología página del nLab.

Answer 2

Una forma de pensar en $H^1(A)$ es utilizar la secuencia exacta larga no como una propiedad de la cohomología, sino directamente como una definición. Es decir, dada una secuencia exacta de láminas, $$ 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0$$ entonces $H^1(A)$ es medir la obstrucción de las secciones globales para ser exactos: $$ 0\rightarrow \Gamma(A)\rightarrow \Gamma(B)\rightarrow \Gamma(C)\rightarrow H^1(A)$$ En palabras, $H^1$ es `medir el fracaso de $\Gamma$ para preservar la subjetividad". Si quieres que esta idea sea realmente definir $H^1(A)$ Hay que tener cuidado al elegir $B$ para que $H^1(B)=0$ . Pero, en cuanto a la intuición, esto me funciona bastante bien.

Un ejemplo demostrativo de esto, al menos para mí, es pensar en la compleja variedad $\mathbb{P}^1$ con $\mathcal{O}$ la gavilla de la estructura y $\mathbb{C}_p$ la gavilla del rascacielos en un punto. Entonces hay un mapa suryectivo (es suryectivo porque es suryectivo en los tallos): $$ \mathcal{O}\rightarrow\mathbb{C}_p$$ que tiene un núcleo $\mathcal{O}(-1)$ la gavilla de estructura retorcida. Toda esta secuencia exacta corta puede ser retorcida por $(-1)$ , observando que la torsión de una gavilla de rascacielos $\mathbb{C}_p$ da una gavilla isomorfa $\mathbb{C}_p(-1)$ (que identifico con la gavilla original): $$0\rightarrow \mathcal{O}(-2)\rightarrow \mathcal{O}(-1)\rightarrow \mathbb{C}_p\rightarrow 0$$

En las secciones globales, obtenemos entonces $$ 0\rightarrow \Gamma(\mathcal{O}(-2))\rightarrow \Gamma(\mathcal{O}(-1))\rightarrow \Gamma(\mathbb{C}_p)\rightarrow H^1(\mathcal{O}(-2))$$ Sabemos que $\Gamma(\mathcal{O}(-1))=0$ y $\Gamma(\mathbb{C}_p)=\mathbb{C}$ por lo que la flecha del medio ya no es sobreyectiva. Por lo tanto, $H^1(\mathcal{O}(-2))$ debe contener al menos $\mathbb{C}$ (de hecho, es exactamente $\mathbb{C}$ ya que $H^1(\mathcal{O}(-1))=0$ ).

La cohomología superior también puede pensarse de esta manera: $H^{i+1}$ mide el fracaso de $H^i$ para preservar los mapas suryectos. Sin embargo, no encuentro esto muy útil para pensar en la cohomología superior, ya que necesitaría que de alguna manera entendiera mucho mejor la cohomología inferior.

Answer 3

Voy a arriesgarme, en lugar de reciclar algunas frases conocidas en la teoría de gavillas. Sugiero tratar de responder a esto como dos preguntas posiblemente más simples:

1) ¿Cuál es el significado intuitivo de una secuencia exacta corta de gavillas de grupos abelianos? ¿Es más profunda que la secuencia exponencial de gavillas ( http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_sheaf_sequence ) con su formulación de cosas sobre el logaritmo complejo que para algunos de nosotros son intuitivas?

2) ¿Por qué inventaron la cohomología de forma precipitada a finales de la década de 1930, cuando la teoría de la homología tardó bastante tiempo en reunirse como teoría ? ¿No fue porque las distintas nociones de cocos empezaron a parecerse cada vez más a aspectos de un único tipo de "obstrucción"?

Desde una perspectiva más bien reduccionista pero práctica, si la cohomología de las gavillas coherentes permite recuperar tantos invariantes discretos clave en geometría, como dimensiones de algunas cosas que no son a priori dimensiones de los espacios vectoriales de las secciones, pero parecen extensiones perfectamente buenas de la idea del número de Betti en otros campos interesantes, me pregunto dónde está el problema.

Por supuesto, ya se ha dicho antes en MO que aprender la teoría de la gavilla todavía no es tan fácil, ausente le Godement nouveau . Puede ser que tratar de entender la gavilla general de la que estamos hablando no sea el camino correcto. (No puedo decir que tenga mucha intuición ni siquiera sobre el grupo abeliano general). No es tan irrespetuoso con el álgebra homológica considerarla un dispositivo computacional, y lo de muy general como cierta garantía de que sus conceptos tienen al menos algún tipo de significado (denotacional). En otros campos eso se considera digno. Entiendo que los geómetras consideren que la "geometría qua intuición" es la forma de entender las técnicas; pero Weil no estaba tan seguro.

Answer 4

Primero hay que preguntarse cuál es la intuición detrás de las gavillas y ahí posiblemente lo mejor sea pensar en secciones locales de un mapa a un espacio base. Así que ahora tienes secciones locales y pensando en las ideas del análisis complejo, empiezas a intentar unir las secciones locales de un haz. (Piensa en los gráficos de Parcheando en una variedad o en las trivializaciones locales de un haz vectorial, por ejemplo). Hay que conseguir transiciones de una descripción local a otra. En parches triplemente superpuestos se necesita una condición de compatibilidad (condición de cociclo) para que las cosas funcionen. ¿Qué pasa con las intersecciones cuádruples? De esta forma se obtiene la idea de cohomología de la gavilla de Cech de forma bastante natural. (Si quieres subir un nivel de abstracción puedes intentar ahora usar una topología de Grothendieck sobre una categoría, y el proceso es muy similar). Los grupos de cohomología superiores (para gavillas abelianas) detectan obstrucciones a Parcheando así. (Esto está relacionado con una respuesta anterior sobre las obstrucciones a las secciones globales, pero no necesita la secuencia exacta de coeficientes).

Lo bueno de pensar en esto como la medición de las obstrucciones a Parcheando las descripciones locales de las cosas es que, con cuidado, incluso se puede hacer si para gavillas de grupos, o álgebras o complejos de cosas, o ... ¡lo que sea! (<dentro de lo razonable.:-))

Así que intuitivamente miden las obstrucciones a Parcheando las cosas locales juntas.

La pregunta menciona la homología, pero en realidad la cohomología es posiblemente más geométrica que la homología.

Answer 5

Esto parece una evasión, lo sé... lo que no está muy lejos de la realidad, al menos en algunos contextos:

Uno no es realmente interesados en los grupos de cohomología superior, sino sólo en el grupo real de secciones globales, y el propósito de los grupos de cohomología superior en la vida es permitirnos hacer pruebas inductivas y otros trucos como el cambio de dimensión.