¿Por qué es $15m=0\pmod {18}$ equivalente a $3m=0 \pmod {18}$ ?

Question

$m$ es algún número natural. ¿Por qué es $15m=0\pmod {18}$ equivalente a $3m=0 \pmod {18}$ ?

Esta es mi pregunta básicamente. No entiendo por qué es cierto.

Answer 1

Porque se obtiene una ecuación multiplicando la otra por $5$ y $5$ es invertible módulo $18$ (A saber, $5\cdot 11\equiv 1 \pmod{18}$ ).

Así que si $3m\equiv 0\pmod{18}$ entonces también $5\cdot 3m\equiv 5\cdot 0\pmod{18}$ que es lo mismo que $15m\equiv 0\pmod{18}$ . Y si $15m\equiv 0\pmod{18}$ entonces también $11\cdot 15m\equiv 11\cdot 0\pmod{18}$ que es lo mismo que $3m\equiv 0\pmod{18}$ .

Answer 2

La declaración: $$15m\equiv 0 \bmod 18$$ significa que 18 divide $15m$ es decir, hay un número entero $k$ con $$ 18k = 15m. $$ (Esto se desprende directamente de la definición de equivalencia modular).

Si se resta $18m$ de ambos lados, se obtiene $$ 18(k-m) = -3m $$ y si luego se niega, se obtiene $$ 18(m-k) = 3m $$ Eso demuestra que $3m$ también es divisible por 18, que es lo mismo que $$ 3m \equiv 0 \bmod 18.$$

Cuando entiendas realmente lo que he escrito, mira el artículo de @HenningMakholm respuesta de @HenningMakholm para una posible visión más profunda.

Answer 3

Tenemos que demostrar que $18|15m\iff 18|3m$

Evidentemente, si $18|3m$ entonces $18|5(3m)$

Lo difícil es demostrar que si $18|15m$ entonces $18|3m$ .

Supongamos que $18|15m$ entonces existe un número entero $k$ con $5\times 3\times m=18\times k$ .

Esto implica que $5$ divide $18\times k$ ya que $5$ es un primo concluimos que $5$ divide $k$ por el lema de Euclides, así que $k=5j$ .

Por último, observe que $5\times3\times m=18\times 5\times 5\implies 3m=18j\implies 18|3m$