Encontrando $\binom n0+\binom n3+\binom n6+\cdots $

Question

Cómo conseguir $$\binom n0 + \binom n3 + \binom n6 + \cdots$$

MI INTENTO

$$(1+\omega)^n = \binom n0 + \binom n1 \omega^1 + \binom n2 \omega^2 + \cdots$$

$$(1+\omega^2)^n = \binom n0 + \binom n1 \omega^2 + \binom n2 \omega^4 + \cdots $$

$$(1 + 1)^n = 2^n = \binom n0 + \binom n1 + \binom n2 + \cdots$$

$$(1+\omega)^n + (1+\omega^2)^n + (1 + 1)^n = 3 \left(\binom n0 + \binom n3 + \binom n6 + \cdots\right)$$

Pero, ¿cómo resolver el LHS? Tengo la ecuación requerida en el lado derecho

Answer 1

Usted tiene $$(1+\omega)^n+(1+\omega^2)^n+2^n=3\left(\binom n0+\binom n3+\binom n6+\cdots\right)$$

Ahora bien, tenga en cuenta que $$(1+\omega)^n+(1+\omega^2)^n=(-\omega^2)^n+(-\omega)^n=(-1)^n(\omega^n+\omega^{2n})$$

Esto es igual a $(-1)^n\cdot 2$ si $n\equiv 0\pmod 3$ o $(-1)^n\cdot (-1)=(-1)^{n+1}$ si $n\not\equiv 0\pmod 3.$

Answer 2

$$(1+\omega)^n+(1+\omega^2)^n+2^n\\ =(-\omega^2)^n+(-\omega)^n+2^n\\ =(-1)^n(\omega^{2n}+\omega^n)+2^n\\ $$ i) $n=3m$ : $$(-1)^n(\omega^{2n}+\omega^n)+2^n=2\cdot(-1)^n+2^n$$ ii) $n=3m+1$ o $3m+2$ : $$(-1)^n(\omega^{2n}+\omega^n)+2^n=(-1)^{n+1}+2^n$$

Answer 3

Dejemos que $\omega = \dfrac{-1+ i\sqrt 3} 2 = \cos120^\circ + i\sin120^\circ$ .

Entonces $\omega^3 = 1$ y $1+\omega = \cos60^\circ + i\sin60^\circ$ Así que $(1+\omega)^2 = \omega$ .

Un poco de aritmética muestra que $n\mapsto(1+\omega)^n + (1+\omega^2)^n$ es un función periódica con el período $6$ : \begin{array}{c|c} n & (1+\omega)^n + (1+\omega^2)^n \\ \hline 0 & \phantom{+}2 \\ 1 & \phantom{+}1 \\ 2 & -1 \\ 3 & -2 \\ 4 & -1 \\ 5 & \phantom{+}1 \end{array} Por lo tanto, $$ \binom n 0 + \binom n 3 + \binom n 6 + \cdots = \frac{2^n + \text{a periodic term never exceeding $ 2 $ in absolute value} } 3. $$