Acotamiento de una función holomorfa en una región multi-conectada

Question

Considere un dominio simplemente conectado y limitado por una curva de Jordan, y corte dos regiones dentro del dominio, también limitadas por curvas de Jordan. Si $f(z)$ es una función holomorfa en el dominio con límites $B_1$ , $B_2$ y $B_3$ en las curvas límite, ¿cómo podemos obtener una buena cota (mejor que simplemente el máximo de la $B_i$ ) en $f(z)$ ¿dentro del dominio?

En el caso doblemente conectado, tal vez se podría utilizar el mapeo conforme y el lema de las tres líneas, pero no veo cómo proceder aquí.

Answer 1

Podemos limitar $\log |f(z)|$ utilizando el principio de máximo para las funciones subarmónicas. Podemos construir medidas armónicas correspondientes a cada una de las curvas límite y tomar una combinación lineal con coeficientes $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ para obtener un límite puntual dentro del dominio.