Demuestre que existe una función continua $f:X\to [0,1]$ tal que $f^{-1}(\{0\})=A$ y $f(B)=\{1\}$ .

Question

Dejemos que $A,B$ subconjuntos cerrados disjuntos de un espacio topológico normal $(X,\Gamma)$ . Demuestre que existe una función continua $f:X\to [0,1]$ tal que $f^{-1}(\{0\})=A$ y $f(B)=\{1\}$ si y sólo si $A$ es un $G_{\delta}$ en $(X,\Gamma)$ .

Recordemos que $A$ es un $G_{\delta}$ establecido en $X$ , si $A$ es la intersección de una colección contable de conjuntos abiertos de $X$ .

Dejemos que $A,B$ subconjuntos cerrados disjuntos de un espacio topológico normal $(X,\Gamma)$ y supongamos que existe una función continua $f:X\to [0,1]$ tal que $f^{-1}(\{0\})=A$ y $f(B)=\{1\}$ pero tenga en cuenta que $$\{0\}=\bigcap_{n=1}^{\infty}{\left[0,\dfrac{1}{n}\right)}$$

$$A=f^{-1}(\{0\})=f^{-1}\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}{\left[0,\dfrac{1}{n}\right)}\right)=\bigcap_{n=1}^{\infty}{f^{-1}\left[0,\dfrac{1}{n}\right)}$$

Así, $f^{-1}\left[0,\dfrac{1}{n}\right)$ está en $\Gamma$ para todos $n\in\mathbb{N}^{+}$ Así que $A$ es un $G_{\delta}$ en $(X,\Gamma)$ .

Pero, realmente necesito ayuda con la otra parte de la prueba. ¡Gracias!

Answer 1

En esta nota Demuestro que para un $G_\delta$ $A$ en un espacio normal $X$ tenemos continua $f_A: X \to [0,1]$ con $A=f_A^{-1}[\{0\}]$ .

Ahora bien, si tenemos un conjunto cerrado $G_\delta$ establece $A$ y $B$ la función $f=\frac{f_A}{f_A + f_B}$ tiene $f^{-1}[\{0\}]=A$ y $f^{-1}[\{1\}]=B$ .

Estas ideas son fácilmente modificables para su caso también, podemos hacer $f_A$ para trabajar si dejas que el complemento de $B$ sea el primer conjunto abierto en el $G_\delta$ y escribir $A$ como intersección decreciente de conjuntos abiertos.