Es $\text{Hom}(\prod_p \Bbb Z/p\Bbb Z, \Bbb Q) = 0$ posible sin elección?

Question

Que divisible abelian grupos son precisamente los inyectiva grupos es equivalente a la elección; de hecho, hay algunos modelos de ZF con no inyectiva grupos. Ahora bien, dado que el $\Bbb Q$ es inyectiva, inmediatamente uno tiene que $\text{Hom}(\prod_p \Bbb Z/p\Bbb Z, \Bbb Q)$ es trivial (escoger un elemento de orden infinito en el primer grupo; a continuación, la definición de la inyectiva da un valor distinto de cero mapa a $\Bbb Q$ factoring la inclusión $\Bbb Z \hookrightarrow \Bbb Q$.)

Ahora, suponiendo que $\Bbb Q$ es no inyectiva no, obviamente, demostrar que $\text{Hom}(\prod_p \Bbb Z/p\Bbb Z, \Bbb Q)$ es trivial, de donde: existe un modelo de ZF en que esto es cierto?

Answer 1

Estoy actualizando mi comentario a una respuesta, ya que ofrece una similar, aunque diferente, argumento que OohAah la respuesta.

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Considere un modelo de $\sf ZF+DC+BP$ (donde $\sf BP$ es la afirmación de que cada conjunto de reales tiene la propiedad de Baire), esta teoría se muestra la coherencia de Solovay y Sela (el primero lo hizo a partir de un cardinal inaccesible, y el último eliminado el requisito).

En el modelo como cada homomorphism de un grupo polaco a $\Bbb Q$ es continua. Por lo tanto, un homomorphism de un compacto grupo polaco a $\Bbb Q$ debe tener una imagen compacta, pero el único compacto subgrupo de $\Bbb Q$$\{0\}$, ya que el compacto de subconjuntos de a $\Bbb Q$ son acotados y no trivial de subgrupos no lo son.

Answer 2

Una pregunta relacionada es la siguiente: ¿existe un modelo de ZF donde la elección falla pero el hom-set es trivial? La siguiente es una respuesta por Andreas Blass.

La respuesta es sí. La razón es que el fracaso de la elección puede ser tal como para involucrar sólo a los muy grandes conjuntos, mucho mayor que la de los grupos en cuestión. Es decir, uno puede empezar con un modelo de ZFC, donde el Hom-conjunto en cuestión es distinto de cero, y entonces uno puede forzar a través de este modelo para añadir nuevos subconjuntos de algún cardenal de kappa que es mucho más grande que el cardinal del continuo, y luego se puede pasar a un simétrica interior modelo para falsificar el axioma de elección; todo esto puede ser hecho de tal manera que no lindan con los nuevos elementos en el producto de Z_p, de modo que el producto es el mismo en el nuevo modelo como en el original, y todos sus no-cero homomorphisms para Q en el original modelo de ZFC quedan perfectamente bien distinto de cero homomorphisms en el nuevo modelo que viola elección.