Convirtiendo una ecuación paramétrica en una ecuación cartesiana

Question

Estaba trabajando en convertir una ecuación paramétrica en una ecuación cartesiana y parece que no puedo resolver esta. Esperaba que pudieras ayudar con esta ecuación de una cicloide. Gracias

$x = cos(t)+t+\pi$

$y = cos(t)$

Editar: Oops Te di la ecuación equivocada

$x = sin(t)+t+\pi$

$y = cos(t)$

Lo siento por eso, y gracias por las respuestas

Answer 1

Si las ecuaciones son $$x = \sin(t)+t+\pi\qquad ,\qquad y=\cos(t)$$ tienes $$\sin(t)=x-t-\pi$$ $$\cos(t)=y$$ $$\sin^2(t)+\cos^2(t)=(x-t-\pi)^2+y^2=1$$ pero $t=\cos^{-1}(y)$. Entonces, en coordenadas cartesianas $$(x-\cos^{-1}(y)-\pi)^2+y^2=1$$ es la ecuación implícita.

Answer 2

Si deseas eliminar $t$ tienes $$x-y=t+\pi\Rightarrow \cos(x-y)=\cos(t+\pi)=-\cos t=-y$$

Por lo tanto $$\cos(x-y)+y=0$$

Answer 3

Al restar una ecuación de otra para eliminar $ \cos t$,

$$ y-x = t + \pi$$

Ahora $t$ también debe eliminarse

$$ y-x-\pi = \cos^{-1}y $$

Toma el coseno y simplifica, obteniendo

$$ \cos ( x-y) + y =0 $$

que es la ecuación requerida en coordenadas rectangulares ... una ecuación implícita.