Existencia de un mapa holomorfo de la superficie de Riemann a una curva algebraica .

Question

Dejemos que $C$ sea una curva algebraica en $\mathbb P^2( \mathbb C)$ con puntos singulares $p_i : \{1 \le i \le n \}$ . Entonces existe un mapa holomórfico $\Phi : S \to C$ , donde $S$ es una superficie de Riemann.

¿Cómo puedo construir dicho mapa, teniendo en cuenta que es un mapa de una superficie a una curva, no parece obvio ya que los conjuntos abiertos son diferentes en una superficie que en una curva? ¿Tendrá la superficie construida la propiedad de Hausdroff y la compacidad? Se agradece su ayuda. Gracias

Answer 1

La normalización $S$ de $C$ es una curva algebraica proyectiva suave sobre $\mathbb C$ por lo que es una superficie de Riemann. El mapa de normalización $S\to C$ es holomorfo porque es algebraico par.