Si B contiene un conjunto abierto o un conjunto de medida de Lebesgue estrictamente positiva, entonces la dimensión de Hausdorff de $B$ es $n$ .

Question

Por cada $B \subset \mathbb{R}^n$ uno tiene $\dim_H B \le n$ , donde $\dim_H$ es la dimensión de Hausdorff. Si B contiene un conjunto abierto o un conjunto de medida de Lebesgue estrictamente positiva, entonces $\dim_H B=n$ .

Estoy viendo la siguiente solución a este problema de Rene Schilling.

Solución. Sabemos que $0 \le \dim_H B \le n$ . Si $B$ contiene un conjunto abierto $U$ (o un conjunto de medida de Lebesgue no nula), vemos $H^n(B) \ge H^n(U) > 0$ ; se cruzan con una gran bola abierta $K$ para asegurarse de que $H^n(B \cap K) < \infty$ y $U \cap K \subset B \cap K$ . Esto muestra $n = \dim_H(B\cap K)\le \dim_H (B) \le n$ .

Sin embargo, no veo por qué tenemos que considerar una gran bola abierta $K$ en este caso. Ya tenemos $0<H^n(B)<\infty$ por lo que por la definición de la dimensión de Hausdorff, es decir $$\dim_H(B) = \sup\{s \in (0,\infty): H^s(B)>0\}$$ no tenemos inmediatamente que la dimensión es $n$ ?

Answer 1

Pero no se da que $H^{n}(B)<\infty$ podría ser $H^{n}(B)=\infty$ por lo que tenemos que intersecar con una bola más grande $K$ para asegurarse de que $H^{n}(B\cap K)<\infty$ y también tenemos $H^{n}(B\cap K)>0$ entonces $\dim_{H}H^{n}(B\cap K)=n$ .