¿Cuál es el argumento de la categoría Baire aquí? (divergencia de muchas series de Fourier en un punto)

Question

Me encontré con este Archivo PDF de Paul Garrett. En él, demuestra mediante la aplicación estándar del Principio de Acotamiento Uniforme que existe una función continua $f\in C^0(\mathbb T)$ en la bola de la unidad $B$ de $C^0(\mathbb T)$ cuya serie de Fourier diverge en el origen.

(En una frase, la evaluación en digamos $x=0$ de la $N$ La serie parcial de Fourier es un funcional lineal, y esta colección de funcionales no tiene un límite de norma uniforme).

Pero curiosamente, continúa diciendo que la colección de tales $f$ es una intersección contable de subconjuntos densos abiertos de $B$ y no he visto esto antes, o lo he olvidado :) (Supongo que $v$ es una errata en el PDF).

Pregunta: ¿Qué es esta colección de subconjuntos densos abiertos?

Naturalmente, una vez resuelta la cuestión anterior, el teorema de la Categoría Baire da que (como $B$ es un espacio métrico completo), esta colección de funciones con series de Fourier divergentes es densa en $B$ .

"¿Qué has probado?", ya te oigo decir, pues bien, sigo pensando que las aplicaciones de la Categoría Baire son el resultado de un truco mágico... la única colección obvia de funciones que se me ocurre son las funciones limitadas por banda, pero éstas (como en: el tramo de la primera $N$ exponenciales complejas) no son densas.

Una pista será suficiente.

Answer 1

Bien... la respuesta parcial debería ser ahora una respuesta completa - ¡compruébelo!

Para los que no hayan leído el PDF, definimos $\lambda_N f=\sum_{n=-N}^N \langle f,e^{inx}\rangle_{L^2(S^1)}$ para ser una suma parcial de la serie de Fourier de $f$ evaluado en $0$ .

Estoy bastante seguro de que Garrett quiere decir que $\{f|\sup_N |\lambda_N f|=\infty\}=\cap_{M=1}^{\infty} U_M$ , donde $U_M=\{f|\sup_N |\lambda_N f|>M\}.$ Para ver que un determinado $U_M$ está abierto, dejemos que $f\in U_M$ y adecuado $N_0$ y $\varepsilon$ tal que $|\lambda_{N_0} f|\geq M+\varepsilon$ . Entonces, como cada coeficiente de Fourier es una contracción, obtenemos para cualquier continuo $g:S^1\to \mathbb{C}$ que

$$ |\lambda_{N_0}g|\geq |\lambda_{N_0}f|-\sum_{n=-N_0}^{N_0} ||f-g||_{\infty}, $$ que es estrictamente mayor que $M$ para $||f-g||_{\infty}<\frac{\varepsilon}{2N_0+1}$ .

Ahora, la parte complicada es establecer la densidad de $U_M,$ y aquí, no he terminado. Así que esta es mi idea:

Podemos intentar aproximar los polinomios trigonométricos mediante $U_M$ ya que los polinomios trigonométricos son densos en $C(S^1)$ por Stone-Weierstrass.

Dejemos que $f$ sea alguna función que se encuentre en $\cap_{M=1}^{\infty} U_M$ (tales funciones existen por los resultados en el PDF). Entonces, para cualquier polinomio trigonométrico $p(x)=\sum_{n=-N}^N c_n e^{inx}$ y cualquier $k\in \mathbb{N}$ afirmamos que $f_k=\frac{f}{k}+g\in U_M$ . De hecho, existen algunas $N_0$ tal que $|\lambda_{N_0} f|> k(\sum_{n=-N}^N |c_n|+M),$ lo que implica que $$|\lambda_{N_0} f_k|\geq \frac{1}{k}|\lambda_{N_0} f|-|\lambda_{N_0} p|> M$$ Sin embargo, $f/k$ tiende claramente a $0$ uniformemente, por lo que $f_k\to g$ de manera uniforme. Esto establece la densidad.

Por supuesto, todo lo que mostramos fue que $\cap_{M=1}^{\infty} U_M$ es en sí mismo denso, en lugar de mostrar que cada individuo $U_M$ era, pero supongo que la prueba funciona bien.