problema difícil de la aritmética modular

Question

¿Puedes mostrarme cómo probar esto::

$$66^{11 k+66} + 11^{101 k+55}\equiv \left\{\begin{array}{ll} 22 \pmod{165}& \text{if $k$ is odd,}\\ 77 \pmod{165} & \text{if $k$ is even.} \end{array}\right.$$

Answer 1

Primero, $66^2 \equiv 66 \pmod{165}$ . Por lo tanto, $66^{11k+66} \equiv 66 \pmod{165}$ . Segundo, $11^3 \equiv 11 \pmod{165}$ . Por lo tanto, incluso para $n > 0$ , $11^n \equiv 121 \pmod{165}$ mientras que para impar $n > 0$ , $11^n \equiv 11 \pmod{165}$ . Si $n=101k+55$ entonces $n$ es impar si $k$ es par. Así, para impar $k$ obtenemos $66+121 \equiv 22 \pmod{165}$ y para incluso $k$ obtenemos $66+11 \equiv 77 \pmod{165}$ .

Answer 2

Desde $165=3\times 5\times 11$ , trabajan en el módulo de cada uno de $3$ , $5$ y $11$ por separado y luego combinarlos usando el Teorema Chino del Resto.

Answer 3

Es $\rm \equiv 0\ (mod\ 11)\:,\: $ y $\rm\: mod\ 15\ $ es $\rm\ 6^n \equiv 6\ $ más $\rm\ (-4)^n \equiv -4,\:1,-4\:, 1\:, \ldots\ $ es igual a $\rm\ 2, 7, 2, 7\:\ldots$

De ahí que sea $\rm\ 22,77,22,77\:\ldots\ (mod\ 11*15)$