Una torre de Casson se obtiene de la siguiente manera: Se comienza con un disco debidamente sumergido en $\mathbb{B}^4$ - una vecindad regular de un disco de este tipo se denomina asa de lazo. El límite del disco central (necesariamente en $\mathbb{S}^3$ ) se denomina círculo de unión. En cada punto de autointersección del disco inmerso en el núcleo, tenemos una curva cerrada simple partiendo del punto de intersección, saliendo por una hoja y volviendo por la otra. Llamamos al conjunto de estas curvas (una por cada autointersección) el conjunto de círculos accesorios. Una torre de Casson de altura 1 es sólo un asa de la curva. Una torre de Casson de altura $n$ se obtiene fijando las asas de los accesorios en cada uno de los círculos de la etapa superior de una torre Casson de altura $n-1$ . Una torre de Casson de altura infinita se llama asa de Casson y Freedman ha demostrado que las asas de Casson son homeomorfas a $\mathbb{D}^2 \times \mathbb{D}^2$ .
En 1982, Freedman demostró que dentro de una torre de Casson de altura 6 se puede incrustar una torre de Casson de altura 7 con el mismo círculo de unión, y como resultado, las torres de Casson de altura 6 contienen asas de Casson con el mismo círculo de unión. En 1984, Gompf y Singh mejoraron esto mostrando cómo incrustar una torre de altura 6 dentro de una torre de altura 5. Creo que este teorema se ha mejorado aún más. Este documento (en la página 15) dice que el número mejorado podría ser 4, y este (en la página 103) parece afirmar que es 3. Desgraciadamente, ninguno de estos documentos tiene una referencia para estos resultados.
Con estos antecedentes, busco una referencia para la respuesta a la siguiente pregunta:
¿Cuál es el menor número entero $n$ para la que se sabe que dada una torre Casson de altura $n$ ¿se puede incrustar en ella un asa Casson con el mismo círculo de sujeción? Equivalentemente, ¿cuál es el menor número entero $n$ tal que dada una torre Casson de altura $n$ ¿el círculo adjunto limita un disco topológico incrustado dentro de la torre dada?
Referencias:
- M. Freedman, The topology of 4-dimensional manifolds, J. Differential Geom. 17 (1982), 357-453.
- R. Gompf y S. Singh, On Freedman's reimbedding theorems, Four-Manifold Theory (C. Gordon y R. Kirby, eds.), Contemp. Math., vol. 35, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1984, pp. 277-310.
