¿Puedo determinar estimadores insesgados de un producto de expectativas?

Question

Dejemos que $n$ sea cualquier número natural positivo. Me preguntaba si para cualquier función $g\colon\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ siempre es posible determinar una segunda función $f\colon \{0,1\}^n \to \mathbb{R}$ tal que, para cualquier distribución $\rho$ en $\{0,1\}$ y cualquier $X_1, \ldots, X_n \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} \rho$ tenemos $$\mathbb{E}\bigl[ f(X_1,\ldots,X_n) \bigr] = \mathbb{E}[ X_1 ] \, \mathbb{E} \bigl[ g(X_1,\ldots,X_n) \bigr]$$

En otras palabras, si es posible encontrar estimadores insesgados del producto de las expectativas de las dos variables aleatorias (¡no independientes!) $X_1$ y $g(X_1,\ldots,X_n)$ (ambos son $\sigma(X_1,\ldots,X_n)$ -medible), utilizando sólo el $n$ muestras $X_1,\ldots, X_n$ .

Cada fibra de mi ser me dice que esto no debería ser posible pero no tengo ni idea de cómo atacar tal problema.

Answer 1

Contraejemplo: $n=1, g(x_1)=x_1$ .

Entonces tenemos que encontrar $f:\{0,1\}\to\mathbb{R}$ tal que para toda medida de probabilidad $\mathbb{P}$ en $(\{0,1\},2^{\{0,1\}})$ tenemos que $$\mathbb{E}_{\mathbb{P}}(f(X_1))=\left(\mathbb{E}_{\mathbb{P}}(X_1)\right)^2.$$ Como toda probabilidad $\mathbb{P}$ en $(\{0,1\},2^{\{0,1\}})$ está totalmente determinado por $\mathbb{P}(\{1\})$ y como la variación de $\mathbb{P}$ sobre las medidas de probabilidad en $(\{0,1\},2^{\{0,1\}})$ tenemos que $\mathbb{P}(\{1\})$ varía en el conjunto $[0,1]$ el requisito anterior equivale a $$\forall p\in[0,1], f(0)(1-p)+f(1)p=p^2.$$ En esta igualdad, pluggin $p=0$ conseguimos que $f(0)=0$ y enchufe $p=1$ obtenemos $f(1)=1$ . Sin embargo, si $p=1/2$ obtenemos $$f(0)(1-p)+f(1)p=0 \frac{1}{2}+1\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{1}{4}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=p^2$$