Valores propios y polinomio característico

Question

En mi examen de álgebra lineal, hay una pregunta de verdadero falso que no he podido entender, esperaba que alguien de aquí me lo pudiera explicar. Es la siguiente:

Sea A un $2 \times 2$ matriz con el polinomio característicoc $p(x) = x^2+2x+1$ ¿es cierto o falso que:

Si $A$ es diagonalizable, entonces $A$ es la matriz de identidad.

La respuesta dice que esto es falso pero no entiendo por qué. ¡Cualquier ayuda con esta pregunta es muy apreciada!

Answer 1

Una pista:

Consideremos una matriz de la forma

$$ A= \begin{bmatrix} 1&a\\ 0&1 \end{bmatrix} $$ o $$ B= \begin{bmatrix} 1&0\\ b&1 \end{bmatrix} $$ Estas matrices tienen valores propios $\lambda_1=\lambda_2=1$ pero no son diagonalizables.