Dejemos que $f \in L^2([0,1])$ . Dado que la función $$f_n(t) = \begin{cases} n, & f(t)>n, \\ f(t), & f(t) \in [-n,n], \\ -n, & f(t)<-n \end{cases}$$ es determinista, la integral estocástica
$$X_n(t) := \int_0^t f_n(\tau) \,d W(\tau)$$
es gaussiana. Por la fórmula de Itô, la varinace de la variable aleatoria gaussiana $X_n(t)-X_n(s)$ es igual a
$$ \mathbb{E} \left| \int_s^t f_n(\tau) \, dW_{\tau} \right|^2 = \int_s^t f_n(\tau)^2 \, d\tau \leq n^2 |s-t|.$$
Como $\mathbb{E}(Y^4) = 3 \sigma^4$ para $Y \sim N(0,\sigma^2)$ obtenemos
$$\mathbb{E}((X_n(s)-X_n(t))^4) \leq 3 n^4 |t-s|^2.$$
Aplicando el teorema de continuidad de Kolmogorov, encontramos que $(X_n(t))_{t \geq 0}$ tiene una modificación $(\tilde{X}_n(t))_{t \geq 0}$ con trayectorias de muestra continuas para cada $n \geq 1$ . Ya que, por la desigualdad máxima de Doob,
$$ \mathbb{E} \left( \sup_{t \leq 1} |\tilde{X}_n(t)-X(t)|^2 \right) = \mathbb{E} \left( \sup_{t \leq 1} |X_n(t)-X(t)|^2 \right) \leq 4 \int_0^1 (f(\tau)-f_n(\tau))^2 \, d\tau$$
se deduce del teorema de convergencia dominada que el lado derecho converge a $0$ como $n \to \infty$ . Eligiendo una subsecuencia casi seguramente convergente, encontramos
$$\sup_{t \leq 1} |X_{n_k}(t)-X(t)|^2\xrightarrow[]{k \to \infty} 0$$
y por lo tanto $(X(t))_{t \in [0,1]}$ tiene trayectorias muestrales continuas con probabilidad $1$ (como límite uniforme de los procesos con trayectorias muestrales continuas a.s.).
Observación: Típicamente la continuidad se muestra al construir la integral de Itô; la idea es tomar una secuencia de procesos simples $(f_n)_n$ aproximando $f$ y luego usar eso
$$\int_0^t f(\tau) \, dW(\tau) = L^2-\lim_{n \to \infty} \int_0^t f_n(\tau) \, dW(\tau)$$
converge uniformemente en $t \in [0,T]$ . Desde $\int_0^{\bullet} f_n(\tau) \, dW(\tau)$ es continua por la propia definición de la integral de Itô, esto implica que $\int_0^{\bullet} f(\tau) \, dW(\tau)$ tiene trayectorias muestrales casi seguramente continuas. Desde mi punto de vista, esto es mucho más sencillo que el razonamiento anterior.
