Estoy buscando o bien algunos enunciados matemáticos precisos sobre las integrales de Wiener, o bien una referencia donde pueda encontrarlos.
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La integral de Wiener es una herramienta analítica para definir ciertas "integrales" que se quieren evaluar en mecánica cuántica y estadística. (Hrm, son dos mecánicas diferentes-es....) Más concretamente, a menudo se desea definir/calcular integrales sobre todas las trayectorias en tu espacio de configuración o fase que satisfacen ciertas condiciones de contorno. Por ejemplo, es posible que desee integrar sobre todas las trayectorias en un colector con puntos finales fijos. Es habitual escribir el integrando como una exponencial pura $\exp(f)$ . En mecánica estadística, la función $f$ en el exponente es generalmente real y decae a $-\infty$ (lo suficientemente rápido) en todas direcciones. Si el espacio de trayectorias fuera finito, cabría esperar que dichas integrales convergieran absolutamente en el sentido de Riemann. En mecánica cuántica, $f$ suele ser puramente imaginario, de modo que $\exp(f)$ es una fase, y la integral no debe ser absolutamente convergente, pero en integrales de dimensión finita puede ser condicionalmente convergente en el sentido de Riemann. Típicamente, $f$ es una función local, de modo que $f(\gamma) = \int L(\gamma(t))dt$ donde $\gamma$ es una ruta y $L(\gamma(t))$ depende únicamente del $\infty$ -jet de $\gamma$ en $t$ . De hecho, normalmente $L(\gamma(t))$ depende únicamente del $1$ -jet de $\gamma$ de modo que $f(\gamma)$ se define, por ejemplo, en trayectorias continuas suaves a trozos $\gamma$ .
Por ejemplo, se podría tener una variedad riemanniana $\mathcal N$ y quiere definir: $$U(q_0,q_1) = \int\limits_{\substack{\gamma: [0,1] \to \mathcal N \\ {\rm s.t.}\, \gamma(0) = q_0,\, \gamma(1)=q_1}} \exp\left( - \hbar^{-1} \int_0^1 \frac12 \left| \frac{\partial \gamma}{\partial t}\right|^2dt \right)$$ donde $\hbar$ es un número real positivo (mecánica estadística) o imaginario puro distinto de cero (mecánica cuántica). La "medida" de integración debe depender de la medida canónica sobre $N$ procedente de la métrica de Riemann, y la medida de Wiener la hace precisa.
En $\mathcal N = \mathbb R^n$ Creo que sé cómo definir la integral de Wiener. La intuición es aproximar trayectorias mediante lineales a trozos. Así, para cada $m$ consideremos una integral de la forma $$I_m(f) = \prod_{j=1}^{m-1} \left( \int_{\gamma_j \in \mathbb R^n} d\gamma_j \right) \exp(f(\bar\gamma)) $$ donde $\bar\gamma$ es la trayectoria a trozos lineal que sólo tiene esquinas en $t = j/m$ para $j=0,\dots,m$ donde los valores son $\bar\gamma(j/m) = \gamma_j$ (y $\gamma_0 = q_0$ , $\gamma_m = q_1$ ). Entonces el límite como $m\to \infty$ de esta integral a trozos probablemente no existe para un integrando fijo $f$ pero podría haber algún número $a_m$ dependiendo débilmente de $f$ para que $\lim_{m\to \infty} I_m(f)/a_m$ existe y es finito. Creo que así es como se define la integral de Wiener en $\mathbb R^n$ .
En una variedad riemanniana, la definición anterior no tiene sentido: generalmente hay muchas geodésicas que conectan un par de puntos dado. Pero un teorema de Whitehead dice que cualquier colector riemanniano puede estar cubierto por "vecindarios convexos": un vecindario es convexo si dos puntos cualesquiera de ella están conectados por una geodésica única que permanece en la vecindad. Entonces podríamos hacer la siguiente definición. Escojamos un recubrimiento de $\mathcal N$ por vecindades convexas, e intentar aplicar la definición anterior, pero declarando que la integral es cero en las tuplas $\gamma_{\vec\jmath}$ para lo cual $\gamma_j$ y $\gamma_{j+1}$ no están contenidos en la misma vecindad convexa. Esto estaría justificado si los caminos "largos y rápidos" se suprimieran exponencialmente por $\exp(f)$ . Así que esperemos que esta integral truncada tenga sentido, y luego esperemos que no dependa de la elección de la cobertura de vecindad convexa.
Por supuesto, las integrales de trayectoria también deberían existir en variedades con, digamos, métrica "semi "riemanniana indefinida. Pero entonces no me queda del todo claro que la justificación del párrafo anterior tenga fundamento. Además, realmente la integral de trayectoria debería depender sólo de la elección de la forma del volumen en una variedad $\mathcal N$ y no en la elección de la métrica. Entonces uno querría elegir una métrica compatible con la forma de volumen (esto siempre se puede hacer, como aprendí en esta pregunta ), jugar al juego anterior y esperar que la respuesta final sea independiente de la elección. Un ejemplo típico: cualquier colector simpléctico, por ejemplo un haz cotangente, tiene una forma de volumen canónica.
También merece la pena mencionar otra modificación: antes me imaginaba imponiendo condiciones de contorno de Dirichlet en las trayectorias sobre las que quería integrar, pero por supuesto puede que quieras imponer otras condiciones, por ejemplo Neumann o alguna mezcla.
Preguntas
Pregunta 0: ¿Es esencialmente correcta mi definición aproximada de la integral de Wiener?
Pregunta 1: En $\mathcal N = \mathbb R^n$ para las funciones $f$ de la forma $f(\gamma) = -\hbar^{-1}\int_0^1 L(\gamma(t))dt$ para "Lagrangianos" $L$ que dependen únicamente del $1$ -jet $(\dot\gamma(t),\gamma(t))$ de $\gamma$ en $t$ ¿cuándo tiene sentido la integral de Wiener? Es decir: ¿para qué Lagrangianos $L$ en $\mathbb R^n$ y para los que los números complejos distintos de cero $\hbar$ ¿se define la integral de Wiener?
Pregunta 2: En general, ¿cuáles son algunas grandes clases de funciones $f$ en el espacio de trayectorias para el que se define la integral de Wiener?
Buscando en Google, lo mejor que he encontrado son artículos de física de los años 70 y 80 que intentan responder afirmativamente a la pregunta 1 para, por ejemplo, $L$ un polinomio en $\dot\gamma,\gamma$ o $L$ cuadrática en $\dot\gamma,\gamma$ más acotado, o... Por supuesto, la mayoría de los artículos de física sólo tratan $L$ de la forma $\frac12 |\dot\gamma|^2 + V(\gamma)$ .
