Estoy tratando de averiguar cuántas formas hay de distribuir 8 caramelos idénticos a 3 niños.
Mi primer pensamiento fue abordarlo como 8 caramelos que cada uno necesita un niño. Entonces el primer caramelo tiene 3 opciones El segundo tiene 3 El tercero tiene 3 y así sucesivamente.
Esto me da 8^3, pero esto parece demasiado grande.
Su método está equivocado porque ha tratado los casos en los que se da el primer caramelo al primer niño y el segundo caramelo al segundo niño como si fueran distintos de dar el primer caramelo al segundo niño y luego el segundo caramelo al primero. Este tipo de error lleva a una cantidad muy grande de sobrecontar, por eso su respuesta es tan grande.
Aquí hay dos formas de resolver este problema, un enfoque ingenuo que puedes descubrir si no has visto este tipo de pregunta antes, y otro que generaliza un poco mejor a otras preguntas.
También voy a trabajar bajo la suposición de que podemos asignar cero caramelos a un niño, ya que no has dicho lo contrario. Si esta suposición es incorrecta, primero mis disculpas, pero espero que esto muestre lo suficiente de cómo trabajar en estos problemas para que puedas ver dónde cambiar la lógica para obtener tu resultado deseado.
Para nuestra primera solución, en lugar de iterar a través de los caramelos y asignar cada caramelo a un niño, vamos a iterar a través de los niños y dar a cada niño un número de caramelos. Digamos que damos al primer niño $a$ caramelos, donde $a$ puede estar en cualquier lugar desde $0$ hasta $8.$ Ahora podemos darle al segundo niño $b$ caramelos, donde $b$ puede estar en cualquier lugar desde $0$ hasta $8 - a.$ Para cuando llegamos al tercer niño, tenemos que dar todos nuestros caramelos, así que solo hay una asignación posible para cada asignación de $a$ y $b.$
Entonces, podemos escribir el número total de asignaciones posibles como $\sum_{a = 0}^8 \sum_{b = 0}^{8-a} 1,$ que representa elegir un valor para $a,$ luego $b,$ y luego tener una forma válida de repartir caramelos para cada par de asignaciones. La suma interna es solo la suma de una constante, por lo que podemos simplificar esto como $\sum_{a = 0}^8 8-a+1,$ y luego reindexando con $k = 9 -a,$ permitiendo reordenar en nuestra suma finita debido a la propiedad conmutativa, podemos reescribir esto como $\sum_{k=1}^9 k.$ Ahora simplemente podemos aplicar una identidad famosa (a menudo atribuida a un joven Gauss) para obtener la respuesta $\frac{9(9+1)}{2} = 45.$
El método alternativo, y mucho más utilizado, es utilizar el método de estrellas y barras, que básicamente transforma nuestra compleja cuestión basada en árboles de decisiones en una cuestión combinatoria mucho más estándar.
Comienza dibujando $8$ estrellas para representar los $8$ caramelos:
$$\star \star \star \star \star \star \star \ \star$$
Ahora imagina ir de izquierda a derecha y asignar caramelos al primer niño, y luego poner una barra donde empiezas a dar caramelos al segundo niño. Repite esto para el segundo niño, y deja que el tercer niño reciba lo que queda. Aquí hay un ejemplo donde el primer niño recibe $3$ caramelos, el segundo recibe $4$, y el tercero recibe $1$:
$$\star \star \star \ | \star \star \star \star \ | \ \star$$
Ahora nota que nuestro problema de distribuir los caramelos o hacer que los números sumen $8$ se ha convertido en un problema de colocar barras entre estrellas: cada forma de colocar las dos barras corresponderá exactamente a una manera de distribuir los caramelos, por lo que encontrar el número de formas de colocar las barras nos dará el número de formas de distribuir los caramelos.
Así que ahora solo tenemos que contar el número de formas de colocar las barras. Para empezar, para cada barra tenemos $9$ lugares posibles para colocarla:
$$| \ \star \ | \ \star\ | \ \star\ | \ \star\ | \ \star\ | \ \star\ | \ \star\ | \ \star\ |$$
Ahora solo necesitamos colocar las $2$ barras indistinguibles entre los $9$ lugares. Es muy tentador decir que la respuesta debería ser simplemente $\binom{9}{2} = 36,$ pero ten en cuenta que las barras también pueden ocupar el mismo lugar para que el segundo niño no reciba caramelos, así que tenemos que agregar esas $9$ posibilidades adicionales para un total de $45.$
¡Espero que esto ayude!
Los dulces son idénticos.
Llamemos a los tres niños $x,y,z$ y la cantidad de chocolates recibidos por cada uno como $a,b,c$ (Obviamente $a,b,c$ no pueden ser negativos, pero puede ser $0$, porque la pregunta no menciona explícitamente que cada niño recibe al menos un chocolate).
Entonces la condición de la pregunta es $$a+b+c=8$$
Ahora podemos usar un diagrama para representar los $8$ chocolates, y agregamos dos separadores. Estos separadores se utilizan para diferenciar la cantidad de chocolates recibidos por $x,y,z$.
El diagrama se ve algo así: 
Aquí los círculos negros son los chocolates, y las $2$ líneas rojas son los separadores. Estos separadores se pueden colocar en cualquier lugar dependiendo de cómo quieras distribuir los chocolates a los $3$ niños. La cantidad de chocolates antes del primer separador es la recibida por $x$, los que están entre los dos separadores son la cantidad de chocolates recibidos por $y$ y finalmente los que están después del segundo separador, son la cantidad de chocolates recibidos por $z$.
Por ejemplo, en este diagrama, $x$ recibe $0$, $y$ recibe $1$ y $z$ recibe $7$ lo cual cumple con los criterios de la pregunta.
Ahora el trabajo es bastante simple, solo tenemos que organizar estos $10$ elementos. $2$ separadores son iguales y $8$ chocolates son idénticos.
Por lo tanto obtenemos:
$$\cfrac{10!}{2!8!} = 45$$
Espero que esto ayude.
Punto principal a tener en cuenta:
En general, si hay más de dos variables en una ecuación como $x_1 + x_2 + x_3 …….+ x_r = n$, entonces el número total de soluciones no negativas es $^{n+r-1}C_{r-1} $
También, en caso de que tu pregunta quisiera que cada niño recibiera al menos un chocolate, puedes modificar la afirmación de la pregunta como:
$$a+b+c = 5$$
[Esto asume que cada niño necesariamente recibe al menos $1$ chocolate.]
Nuevamente aplicando la fórmula, obtenemos $$^{5+3-1}C_{3-1}$$ $$\implies ^7C_2 = 21$$
Hay otro problema llamado problemas de tipo "bolas y tarros". La fórmula para calcular las combinaciones es : $$C = \frac{(n+k-1)!}{n!(k-1)!}$$ Donde $n =$ El número de bolas que colocamos en el tarro y $k =$ El número de tarros. Aplicando la misma fórmula a tu problema, obtenemos : $$C = \frac{(5+3-1)!}{5!(3-1)!} = 21$$ Por lo tanto, el número de combinaciones posibles es $21$. (Ten en cuenta que hay $21$ combinaciones posibles si cada niño recibe al menos un dulce) Puedes consultar este enlace que explica este tipo de problema. https://www.quora.com/In-how-many-ways-can-8-identical-chocolates-be-distributed-among-3-children-such-that-each-child-receives-at-least-1. Espero que te sea útil.
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